Classifique as superficies quadráticas e esboce seus gráficos:
x^2=1+y^2-z^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar e esboçar a superfície dada por
x^2 = 1 + y^2 - z^2
O conteúdo é classificação de quádricas, em particular reconhecer um hiperbolóide a partir da forma canónica. Vamos precisar reescrever a equação em forma diagonalizada, contar sinais e depois deduzir o tipo de seções transversais para esboçar o gráfico.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma padrão, subtraímos y^2 e somamos z^2 em ambos os lados:
x^2 - y^2 + z^2 = 1
Aqui vemos que há dois termos quadráticos com coeficiente positivo ( x^2 e z^2) e um com coeficiente negativo ( -y^2). Na forma canónica
x^21 + z^21 - y^21 = 1,
isto caracteriza precisamente um hiperbolóide de uma folha, pois temos duas parcelas positivas e uma negativa igualadas a +1.

Passo 3

Para entender o formato, analisamos seções transversais em planos paralelos a x!z. Fixando y = y0, a equação reduz-se a
x^2 + z^2 = 1 + y0^2
Isto é um círculo de raio raiz1 + y0^2. À medida que lvert y0rvert cresce, o raio do círculo cresce, mostrando que a superfície se abre para cima e para baixo a partir do “cinturão” mínimo em y=0.

Passo 4

Com base nisso, o esboço é o de um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno do eixo y:
  • No plano y=0, temos o círculo x^2+z^2=1.
  • Em y=1, círculo de raio raiz2.
  • Em y=2, raio raiz5, e assim por diante.
O resultado visual é uma “ampulheta” lisa, contínua e sem separar-se em duas partes.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno do eixo y. \nO esboço consiste em círculos de raio raiz1+y^2 nos planos y=constante, crescendo conforme lvert yrvert aumenta.

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