Classifique as superficies quadráticas e esboce seus gráficos:
Passo 1
O enunciado pede para classificar e esboçar a superfície dada por
O conteúdo é classificação de quádricas, em particular reconhecer um hiperbolóide a partir da forma canónica. Vamos precisar reescrever a equação em forma diagonalizada, contar sinais e depois deduzir o tipo de seções transversais para esboçar o gráfico.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma padrão, subtraímos
e somamos
em ambos os lados:
Aqui vemos que há dois termos quadráticos com coeficiente positivo (
e
) e um com coeficiente negativo (
). Na forma canónica
isto caracteriza precisamente um hiperbolóide de uma folha, pois temos duas parcelas positivas e uma negativa igualadas a
.
Passo 3
Para entender o formato, analisamos seções transversais em planos paralelos a
. Fixando
, a equação reduz-se a
Isto é um círculo de raio
. À medida que
cresce, o raio do círculo cresce, mostrando que a superfície se abre para cima e para baixo a partir do “cinturão” mínimo em
.
Passo 4
Com base nisso, o esboço é o de um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno do eixo
:
- No plano
, temos o círculo . - Em
, círculo de raio . - Em
, raio , e assim por diante.
O resultado visual é uma “ampulheta” lisa, contínua e sem separar-se em duas partes.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno do eixo
. \nO esboço consiste em círculos de raio
nos planos
, crescendo conforme
aumenta.