Resolva os PVIs:
ly^prime prime+2 y^prime+5 y=4 e^-t cos (2 t) y(0)=1 ; y^prime(0)=0

Passo 1

O problema é um PVI de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 2y' + 5y = 4,e^-tcos(2t), y(0)=1,;y'(0)=0
O conteúdo aqui é resolver a parte homogênea pela raiz do polinômio característico e achar uma solução particular por coeficientes a determinar (ou método dos expoentes complexos), depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' + 2y' + 5y = 0
temos o característico
r^2 + 2r + 5 = 0 ;Longrightarrow; r = -1 pm 2i
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = e^-tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r)

Passo 3

Para a particular usaremos o método dos expoentes complexos. Escrevemos o forçamento como
4,e^-tcos(2t) = Rel4,e^(-1+2i)tr
Como -1+2i é raiz simples do característico, propomos
ycp(t) = A,t,e^(-1+2i)t
Aplicando o operador L=D^2+2D+5 a ycp e usando
Ll(t e^str)=p(s),t e^st+p'(s),e^st,
onde p(r)=r^2+2r+5 e s=-1+2i, temos p(s)=0 e
p'(s)=2s+2=4i
Logo
L[ycp] = A,(4i),e^(-1+2i)t stackrel!=4,e^(-1+2i)t ;Longrightarrow; A=44i=1i=-i
Assim
ycp(t) = -i,t,e^(-1+2i)t = t,e^-tl(sin(2t)-icos(2t)r),
e a parte real dá a solução particular
yp(t) = t,e^-tsin(2t)

Passo 4

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t) = e^-tl(C1cos(2t)+C2sin(2t)r)+t,e^-tsin(2t)
Impondo y(0)=1 e y'(0)=0:
- Em t=0: y(0)=C1=1.
- Derivando e avaliando em 0 (detalhes de conta dão y'(0)=-C1+2C2=0), obtemos C2=tfrac12.

Resposta

boxed y(t) = e^-tl(cos(2t)+tfrac12sin(2t)r)+t,e^-tsin(2t)

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