Classifique as superfícies a seguir
\begin{aligned} & y=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \\\ & -\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \\\ & \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \\\ & \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \\\ & y=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} \end{aligned}
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Passo 1

O enunciado pede para “classificar” cinco superfícies de segunda ordem (cônicas em 3D), ou seja, dizer de que tipo de quádricas se trata: paraboloides, elipsoide ou hiperbolóides. Vamos usar como ferramentas:
  • Quando a equação está no formato y= expressão quadrática em x,z, temos um paraboloide;
  • Quando a equação está na forma
\frac{\text{quadráticos}}{(\cdot)} = 1,á
contamos o número de coeficientes positivos e negativos para decidir entre elipsoide, hiperbolóide de uma folha ou duas folhas;
  • No caso misto y = x^2/a^2 - z^2/c^2, reconhecemos o paraboloide hiperbólico (sela).

Passo 2

Paraboloides aparecem sempre que isolamos uma variável (digamos y) e o lado direito é soma e/ou diferença de dois quadrados.
  • Se os dois quadrados entram com sinal igual, é um paraboloide elíptico (“taça”);
  • Se entram com sinais opostos, é um paraboloide hiperbólico (forma de sela).

Passo 3

Para superfícies dadas por
\epsilon_1\frac{x^2}{a^2}+\epsilon_2\frac{y^2}{b^2}+\epsilon_3\frac{z^2}{c^2}=1,
onde cada \epsilon_i vale +1 ou -1, classificamos assim:
  • Todos \epsilon_i=+1elipsoide;
  • Duas \epsilon=+1 e uma \epsilon=-1hiperbolóide de uma folha;
  • Uma \epsilon=+1 e duas \epsilon=-1hiperbolóide de duas folhas.

Passo 4

Aplique aos casos de paraboloide:
  1. y=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}. Aqui somamos dois quadrados com sinais iguais, logo é um paraboloide elíptico abrindo para y>0.
  2. y=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{z^2}{c^2}. Aqui um quadrado positivo e um negativo, logo paraboloide hiperbólico.

Passo 5

Aplique à forma implícita igual a 1:
3) \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1. Todos os três termos positivos → elipsoide.
4) \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1. Dois positivos e um negativo → hiperbolóide de uma folha.
2) -\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1. Um positivo e dois negativos → hiperbolóide de duas folhas.

Resposta

y=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2} : paraboloide elíptico -\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1 : hiperbolóide de duas folhas \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1 : elipsoide \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1 : hiperbolóide de uma folha y=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{z^2}{c^2} : paraboloide hiperbólico

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