Classifique as superfícies a seguir
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Passo 1
O enunciado pede para “classificar” cinco superfícies de segunda ordem (cônicas em 3D), ou seja, dizer de que tipo de quádricas se trata: paraboloides, elipsoide ou hiperbolóides. Vamos usar como ferramentas:
- Quando a equação está no formato
expressão quadrática em , temos um paraboloide; - Quando a equação está na forma
contamos o número de coeficientes positivos e negativos para decidir entre elipsoide, hiperbolóide de uma folha ou duas folhas;
- No caso misto
, reconhecemos o paraboloide hiperbólico (sela).
Passo 2
Paraboloides aparecem sempre que isolamos uma variável (digamos
) e o lado direito é soma e/ou diferença de dois quadrados.
- Se os dois quadrados entram com sinal igual, é um paraboloide elíptico (“taça”);
- Se entram com sinais opostos, é um paraboloide hiperbólico (forma de sela).
Passo 3
Para superfícies dadas por
onde cada
vale
ou
, classificamos assim:
- Todos
→ elipsoide; - Duas
e uma → hiperbolóide de uma folha; - Uma
e duas → hiperbolóide de duas folhas.
Passo 4
Aplique aos casos de paraboloide:
-
. Aqui somamos dois quadrados com sinais iguais, logo é um paraboloide elíptico abrindo para . -
. Aqui um quadrado positivo e um negativo, logo paraboloide hiperbólico.
Passo 5
Aplique à forma implícita igual a 1:
3) . Todos os três termos positivos → elipsoide.
4) . Dois positivos e um negativo → hiperbolóide de uma folha.
2) . Um positivo e dois negativos → hiperbolóide de duas folhas.
3)
4)
2)