Classifique as superfícies a seguir
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádricas definida por
e pede a classificação dessa superfície. O conteúdo aqui é identificação de superfícies quádricas a partir dos sinais em sua forma canônica.
Passo 2
Vamos reescrever a equação agrupando os termos positivos de um lado e negativos do outro. Basta passar os termos com coeficiente negativo para o segundo membro:
Ou seja,
Passo 3
Para classificar olhamos quantos quadrados aparecem com sinal positivo e quantos com sinal negativo:
- Um termo positivo:
. - Dois termos negativos:
e .
Essa combinação de sinais
num total de três variáveis corresponde a um hiperbolóide de duas folhas.
Passo 4
Uma forma de ver a forma geométrica é olhar as seções transversais:
- Para
fixo, a equação vira
Isso representa elipses reais somente quando
. Para
não há pontos reais. Logo a superfície tem duas partes (“folhas”) separadas pelos planos
.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, com eixo principal paralelo ao eixo
.