Classifique as superfícies a seguir
-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádricas definida por
-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
e pede a classificação dessa superfície. O conteúdo aqui é identificação de superfícies quádricas a partir dos sinais em sua forma canônica.

Passo 2

Vamos reescrever a equação agrupando os termos positivos de um lado e negativos do outro. Basta passar os termos com coeficiente negativo para o segundo membro:
\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}.
Ou seja,
\frac{z^{2}}{c^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.

Passo 3

Para classificar olhamos quantos quadrados aparecem com sinal positivo e quantos com sinal negativo:
  • Um termo positivo: \dfrac{z^{2}}{c^{2}}.
  • Dois termos negativos: -\dfrac{x^{2}}{a^{2}} e -\dfrac{y^{2}}{b^{2}}.
Essa combinação de sinais (+,-,-) num total de três variáveis corresponde a um hiperbolóide de duas folhas.

Passo 4

Uma forma de ver a forma geométrica é olhar as seções transversais:
  • Para z = z_{0} fixo, a equação vira
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{z_{0}^{2}}{c^{2}} - 1.
Isso representa elipses reais somente quando \lvert z_{0}\rvert > c. Para \lvert z_{0}\rvert < c não há pontos reais. Logo a superfície tem duas partes (“folhas”) separadas pelos planos \,z=\pm c.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, com eixo principal paralelo ao eixo z.

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