Classifique as superfícies a seguir
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a superfície quádricas de equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
onde a,b,c>0. Vamos usar a classificação das quádricas baseada no sinal dos coeficientes do termo quadrático e no número de componentes (folhas) da superfície.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão de quádricas sem termos mistos, temos os coeficientes principais
A=\frac{1}{a^{2}}\;(>0),\quad B=-\frac{1}{b^{2}}\;(<0),\quad C=-\frac{1}{c^{2}}\;(<0),
ou seja, um coeficiente positivo e dois negativos. Isso indica que se trata de um hiperbolóide (pois nem todos os coeficientes têm mesmo sinal) e que há exatamente duas variáveis com sinal negativo.

Passo 3

Para ver quantas folhas há, note que da equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}=1+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\ge1
segue
\frac{x^{2}}{a^{2}}\ge1 \qquad\Longrightarrow\qquad |x|\ge a.
Logo não existem pontos com |x|<a; a superfície divide-se em duas componentes desconexas, uma com x\ge a e outra com x\le -a.

Passo 4

Uma quádricas com sinalatura (+,-,-) e duas folhas é justamente o hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo de simetria é o eixo associado ao coeficiente positivo, aqui o eixo x.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas de revolução estendida ao longo do eixo x.

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