A interseção do hiperboloide de 2 folhas -\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 com o plano z=4 é:
Escolha uma opção:
O a. 1 Ponto
b. Elipse
O c. Conjunto Vazio
d. 2 pontos
e. Hipérbole

Passo 1

O enunciado dá um hiperboloide de duas folhas definido por
-\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} - \frac{z^{2}}{16} = 1
e pede sua interseção com o plano z=4. O conteúdo aqui é classificação de cônicas obtidas pela seção de um quadriculado. Para resolver, basta substituir z=4 na equação e ver que tipo de curva aparece.

Passo 2

Substituindo z=4 em
-\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} - \frac{z^{2}}{16} = 1
temos
-\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} - \frac{4^{2}}{16} = 1
ou seja
-\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} - 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 2.
Multiplicando por 36 para ficar em forma padrão:
-9x^{2} + 4y^{2} = 72 \quad\Longrightarrow\quad 4y^{2} - 9x^{2} = 72.

Passo 3

Reescrevendo em forma canônica dividindo por 72:
\frac{y^{2}}{18} \;-\;\frac{x^{2}}{8} = 1.
Essa é exatamente a equação de uma hipérbole (termos de sinais opostos, um negativo e um positivo).

Resposta

e. Hipérbole

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