Classifique as superfícies a seguir
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádrupla centrada na origem
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
Queremos identificar de que tipo de quádricas se trata, ou seja, se é elipsoide, paraboloide ou hiperbolóide (e de quantas folhas).

Passo 2

Compare com a forma canônica
A\,x^{2}+B\,y^{2}+C\,z^{2}=1
Aqui temos A=\tfrac1{a^{2}}>0, B=\tfrac1{b^{2}}>0 e C=-\tfrac1{c^{2}}<0.

Passo 3

Para quádricas do tipo
A\,x^{2}+B\,y^{2}+C\,z^{2}=1
sabemos que, se dois coeficientes são positivos e um é negativo (ou vice-versa) e o lado direito é +1, a superfície é um hiperbolóide. O número de folhas depende do número de sinais negativos:
  • dois positivos e um negativo ⇒ hiperbolóide de uma folha;
  • um positivo e dois negativos ⇒ hiperbolóide de duas folhas.

Passo 4

Como aqui há exatamente dois coeficientes positivos A e B e um negativo C, concluímos que a superfície é um hiperbolóide de uma folha.

Resposta

hiperbolóide de uma folha

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