Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
(f) ( ) Se lim n +infty raiz[n]|an|=L>0 então o raio de convergência da série de potências sumn=0^+infty an(x-a)^n é 1L.

Passo 1

O enunciado considera a série de potências
sumn=0^+inftyan(x-a)^n
e dá a informação de que
limnto+inftyraiz[n]lvert anrvert=L>0
O conteúdo necessário é o Teorema de Cauchy–Hadamard (ou teste da raiz) para séries de potências, que relaciona esse limite ao raio de convergência R.

Passo 2

O Teorema de Cauchy–Hadamard afirma que o raio de convergência R de
sumn=0^+inftyan(x-a)^n
é dado por
R=1limsupntoinftyraiz[n]lvert anrvert

Passo 3

Como o enunciado garante que o limite existe e vale L, temos
limsupntoinftyraiz[n]lvert anrvert =limntoinftyraiz[n]lvert anrvert =L
Substituindo na fórmula de Cauchy–Hadamard, obtém-se
R=1L

Resposta

V
A afirmação é verdadeira por aplicação direta do Teorema de Cauchy–Hadamard.

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