Classifique em
(verdadeiro) e
(falso) as afirmações abaixo.
a)
anel das matrizes
é um anel comutativo com unidade.
b)
Se
é um corpo e
então existe
tal que
, onde
é a unidade em
.
c) (v) Seja
um homomorfismo do anel
. Dado
temos:
implica
.
J) (
) Existe isomorfismo
.
a)
b)
c) (v) Seja
J) (
Passo 1
O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre anéis e corpos em verdadeiro (V) ou falso (F).
O conteúdo envolve: definição de anel com unidade e comutativo, definição de corpo e inversos multiplicativos, propriedades de homomorfismo de anéis, e isomorfismo de anéis.
O conteúdo envolve: definição de anel com unidade e comutativo, definição de corpo e inversos multiplicativos, propriedades de homomorfismo de anéis, e isomorfismo de anéis.
Passo 2
Análise da afirmação (a): “O anel das matrizes
é um anel comutativo com unidade.”
Um anel com unidade precisa de um elemento neutro para multiplicação, e em esse elemento é a matriz identidade
Um anel com unidade precisa de um elemento neutro para multiplicação, e em
portanto existe unidade. Porém em geral, dadas duas matrizes
, costuma ocorrer
. Logo o anel não é comutativo.
Conclusão: a afirmação é falsa.]
Conclusão: a afirmação é falsa.]
Passo 3
Análise da afirmação (b): “Se
é um corpo e
então existe
tal que
.”
Por definição de corpo, todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo. Mas a afirmação omite a condição . Se
, não existe
com
.
Conclusão: como enunciada para todo , a afirmação é falsa.
Por definição de corpo, todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo. Mas a afirmação omite a condição
Conclusão: como enunciada para todo
Passo 4
Análise da afirmação (c): “Seja
um homomorfismo de anéis. Dado
, temos
implica
.”
Um homomorfismo de anéis satisfaz
Um homomorfismo de anéis satisfaz
e também
. Se
, então
Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmação (d): “Existe isomorfismo
.”
Para haver isomorfismo de anéis, em particular deve ser bijetivo. Mas tem
elementos e
tem
, então não há bijeção entre eles. Além disso
é corpo (pois
é primo) e
não é corpo, o que impede isomorfismo de anéis.
Conclusão: a afirmação é falsa.
Para haver isomorfismo de anéis, em particular deve ser bijetivo. Mas
Conclusão: a afirmação é falsa.
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) F
b) F
c) V
d) F