Classifique em V (verdadeiro) e F (falso) as afirmações abaixo.
a) (V) \mathrm{O} anel das matrizes M_{2}(\mathbb{R}) é um anel comutativo com unidade.
b) (v) Se K é um corpo e x \in K então existe y \in K tal que x \cdot y=1_{K}, onde 1_{k} é a unidade em K.
c) (v) Seja f: A \rightarrow A um homomorfismo do anel A. Dado a \in A temos: a^{3}=0_{A} implica f(a)^{3}=0_{A}.
J) ( f ) Existe isomorfismo f: \mathbb{Z}_{5} \rightarrow \mathbb{Z}_{6}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre anéis e corpos em verdadeiro (V) ou falso (F).
O conteúdo envolve: definição de anel com unidade e comutativo, definição de corpo e inversos multiplicativos, propriedades de homomorfismo de anéis, e isomorfismo de anéis.

Passo 2

Análise da afirmação (a): “O anel das matrizes M_{2}(\mathbb{R}) é um anel comutativo com unidade.”
Um anel com unidade precisa de um elemento neutro para multiplicação, e em M_{2}(\mathbb{R}) esse elemento é a matriz identidade
I = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix},
portanto existe unidade. Porém em geral, dadas duas matrizes A,B\in M_{2}(\mathbb{R}), costuma ocorrer AB\neq BA. Logo o anel não é comutativo.
Conclusão: a afirmação é falsa.]

Passo 3

Análise da afirmação (b): “Se K é um corpo e x\in K então existe y\in K tal que x\cdot y=1_{K}.”
Por definição de corpo, todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo. Mas a afirmação omite a condição x\neq 0. Se x=0, não existe y com 0\cdot y=1_{K}.
Conclusão: como enunciada para todo x\in K, a afirmação é falsa.

Passo 4

Análise da afirmação (c): “Seja f\colon A\to A um homomorfismo de anéis. Dado a\in A, temos a^{3}=0_{A} implica f(a)^{3}=0_{A}.”
Um homomorfismo de anéis satisfaz
f(a^{3})=f(a\cdot a\cdot a)=f(a)\cdot f(a)\cdot f(a)=f(a)^{3},
e também f(0_{A})=0_{A}. Se a^{3}=0_{A}, então
f(a)^{3}=f(a^{3})=f(0_{A})=0_{A}.
Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação (d): “Existe isomorfismo f\colon \mathbb{Z}_{5}\to \mathbb{Z}_{6}.”
Para haver isomorfismo de anéis, em particular deve ser bijetivo. Mas \mathbb{Z}_{5} tem 5 elementos e \mathbb{Z}_{6} tem 6, então não há bijeção entre eles. Além disso \mathbb{Z}_{5} é corpo (pois 5 é primo) e \mathbb{Z}_{6} não é corpo, o que impede isomorfismo de anéis.
Conclusão: a afirmação é falsa.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) F

Exercícios relacionados