Dados x, y>0 em R. Prove que se x+3 y=1, então x^{2}+y^{2} \geq \frac{1}{10}.

Passo 1

O enunciado pede que, para x,y>0 e sujeito à restrição
x + 3y = 1,
se mostre que
x^2 + y^2 \ge \frac{1}{10}.
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade de Cauchy–Schwarz em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Recordando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, para quaisquer vetores (u_1,u_2) e (v_1,v_2) em \mathbb{R}^2 vale
(u_1^2 + u_2^2)\,(v_1^2 + v_2^2) \ge (u_1v_1 + u_2v_2)^2.
Aqui escolhemos
(u_1,u_2) = (1,3), \qquad (v_1,v_2) = (x,y).

Passo 3

Aplicando a desigualdade com essa escolha, obtemos
(1^2 + 3^2)\,(x^2 + y^2) \ge (1\cdot x + 3\cdot y)^2.
Como 1^2+3^2=10 e 1\cdot x + 3\cdot y = x + 3y = 1, segue
10\,(x^2 + y^2) \ge 1^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 \ge \frac{1}{10}.

Resposta

x^2 + y^2 \ge \frac{1}{10}.

Exercícios relacionados