Seja T: U \rightarrow V uma transformação linear entre espaços vetoriais com produto interno. Sejam u, v \in V autovetores associados a um autovalor não nulo de T. Prove que u e v são ortogonais se, e somente se, T(u) e T(v) também são ortogonais.
Passo 1
O enunciado envolve uma transformação linear T: U \to V entre espaços com produto interno e dois autovetores u,v\in U de T associados a autovalores \lambda e \mu, ambos não nulos. Queremos usar a definição de autovetor e as propriedades do produto interno para mostrar
u \perp v \quad\Longleftrightarrow\quad T(u)\perp T(v).
Passo 2
Pelo fato de u e v serem autovetores de T com autovalores \lambda e \mu, respectivamente, temos
T(u) = \lambda\,u, \qquad T(v)=\mu\,v,
com \lambda\neq 0 e \mu\neq 0.
Passo 3
Usamos agora a bilinearidade (no caso real) ou sesquilinearidade (no caso complexo) do produto interno para calcular