Seja T: U \rightarrow V uma transformação linear entre espaços vetoriais com produto interno. Sejam u, v \in V autovetores associados a um autovalor não nulo de T. Prove que u e v são ortogonais se, e somente se, T(u) e T(v) também são ortogonais.

Passo 1

O enunciado envolve uma transformação linear T: U \to V entre espaços com produto interno e dois autovetores u,v\in U de T associados a autovalores \lambda e \mu, ambos não nulos. Queremos usar a definição de autovetor e as propriedades do produto interno para mostrar
u \perp v \quad\Longleftrightarrow\quad T(u)\perp T(v).

Passo 2

Pelo fato de u e v serem autovetores de T com autovalores \lambda e \mu, respectivamente, temos
T(u) = \lambda\,u, \qquad T(v)=\mu\,v,
com \lambda\neq 0 e \mu\neq 0.

Passo 3

Usamos agora a bilinearidade (no caso real) ou sesquilinearidade (no caso complexo) do produto interno para calcular
\bigl\langle T(u),\,T(v)\bigr\rangle =\bigl\langle \lambda\,u,\,\mu\,v\bigr\rangle.
Em espaços reais isto dá
\bigl\langle \lambda\,u,\,\mu\,v\bigr\rangle =\lambda\,\mu\;\bigl\langle u,\,v\bigr\rangle.
Em espaços complexos obtém-se
\bigl\langle \lambda\,u,\,\mu\,v\bigr\rangle =\lambda\,\overline{\mu}\;\bigl\langle u,\,v\bigr\rangle,
mas o argumento a seguir é análogo, pois \lambda\overline\mu\neq 0.

Passo 4

Como \lambda\mu\neq 0, temos
\bigl\langle T(u),\,T(v)\bigr\rangle = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl\langle u,\,v\bigr\rangle = 0.
Isto mostra exatamente que T(u)\perp T(v) se, e somente se, u\perp v.

Resposta

u e v são ortogonais se, e somente se, T(u) e T(v) também são ortogonais.

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