Simplifique as expressões, supondo \mathrm{a} \cdot \mathrm{b} \neq 0.
\left(a^{2} \cdot b^{3}\right)^{2} \cdot\left(a^{3} \cdot b^{2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, supondo \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq 0:
\left(a^{2}\cdot b^{3}\right)^{2}\cdot\left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é um produto de duas potências de produtos.
  • A condição \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq 0 garante que não há divisão por zero nem ambiguidade sobre potenciação de zero (mas aqui só simplificamos potências).
  • A tarefa é reduzir essa expressão a uma forma mais simples, combinando expoentes quando possível.

Passo 2

Relembrando as regras de potências que vamos usar (explicação didática):
  • Regra 1 (potência de um produto): para quaisquer números/expressões x,y e inteiro n,
(x\cdot y)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}.
Isto significa que a potência distribui-se sobre o produto: aplicamos o expoente a cada fator separadamente.
  • Regra 2 (potência de potência): para qualquer x e inteiros m,n,
\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m\cdot n}.
Isto significa que ao elevar uma potência a outra potência multiplicamos os expoentes.
  • Regra 3 (multiplicação de bases iguais): para mesma base x e expoentes p,q,
x^{p}\cdot x^{q}=x^{p+q}.
Ao multiplicar potências com mesma base, somamos os expoentes.
Vou aplicar essas três regras passo a passo à expressão.

Passo 3

Aplicar a Regra 1 e a Regra 2 ao primeiro fator \left(a^{2}\cdot b^{3}\right)^{2}.
Pela Regra 1 temos que
\left(a^{2}\cdot b^{3}\right)^{2}=\left(a^{2}\right)^{2}\cdot\left(b^{3}\right)^{2}.
Agora pela Regra 2:
\left(a^{2}\right)^{2}=a^{2\cdot 2}=a^{4}, \qquad \left(b^{3}\right)^{2}=b^{3\cdot 2}=b^{6}.
Portanto o primeiro fator simplifica para
\left(a^{2}\cdot b^{3}\right)^{2}=a^{4}\cdot b^{6}.

Passo 4

Aplicar as mesmas regras ao segundo fator \left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{3}.
Pela Regra 1:
\left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{3}=\left(a^{3}\right)^{3}\cdot\left(b^{2}\right)^{3}.
Pela Regra 2:
\left(a^{3}\right)^{3}=a^{3\cdot 3}=a^{9}, \qquad \left(b^{2}\right)^{3}=b^{2\cdot 3}=b^{6}.
Logo o segundo fator fica
\left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{3}=a^{9}\cdot b^{6}.

Passo 5

Agora multiplicar os dois resultados obtidos em cadeia:
\bigl(a^{4}\cdot b^{6}\bigr)\cdot\bigl(a^{9}\cdot b^{6}\bigr).
Agrupando as bases iguais (primeiro as a, depois as b):
= \bigl(a^{4}\cdot a^{9}\bigr)\cdot\bigl(b^{6}\cdot b^{6}\bigr).

Passo 6

Aplicar a Regra 3 (somar expoentes de mesma base):
a^{4}\cdot a^{9}=a^{4+9}=a^{13}, \qquad b^{6}\cdot b^{6}=b^{6+6}=b^{12}.
Portanto o produto final é
a^{13}\cdot b^{12}.

Passo 7

Cheque rápido com um exemplo numérico (só para intuir que as regras funcionam): tome a=2, b=3.
Calcular ambos os lados (apenas como verificação mental):
  • Original: (2^{2}\cdot 3^{3})^{2}\cdot(2^{3}\cdot 3^{2})^{3} dá o mesmo que 2^{13}\cdot 3^{12}. Isso confirma que os passos algébricos preservam o valor.

Resposta

a^{13}\cdot b^{12}

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