Simplifique as expressões, supondo \mathrm{a} \cdot \mathrm{b} \neq 0.
\frac{\left(a^{4} \cdot b^{2}\right)^{3}}{\left(a \cdot b^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
O enunciado pede para simplificar a expressão (supondo \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq0):
\frac{\left(a^{4}\cdot b^{2}\right)^{3}}{\left(a\cdot b^{2}\right)^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • As variáveis a e b são diferentes de zero ( a\cdot b\neq0), então não há problema de divisão por zero.
  • Devemos usar propriedades de potências para simplificar.

Passo 2

Lembrete das leis de potências que vamos usar (explicação didática):
  • Potência de um produto: \,(xy)^n = x^n y^n\,. Isso significa que quando uma multiplicação está elevada a uma potência, podemos elevar cada fator àquela potência.
  • Potência de potência: \,(x^m)^n = x^{m\cdot n}\,. Ou seja, multiplicam-se os expoentes.
  • Divisão de potências com mesma base: \dfrac{x^p}{x^q}=x^{p-q} (desde que x\neq0). Aplica-se separadamente a cada base (cada letra) no numerador e denominador.
Aqui x,y são símbolos genéricos; no problema usamos a e b.

Passo 3

Aplicar potência de produto e potência de potência ao numerador:
\left(a^{4}\cdot b^{2}\right)^{3} = \left(a^{4}\right)^{3}\cdot\left(b^{2}\right)^{3}.
Agora, usando \,(x^m)^n = x^{m\cdot n}\,,
\left(a^{4}\right)^{3} = a^{4\cdot 3}=a^{12}, \qquad \left(b^{2}\right)^{3}=b^{2\cdot 3}=b^{6}.
Portanto o numerador fica
\left(a^{4}\cdot b^{2}\right)^{3}=a^{12}b^{6}.

Passo 4

Aplicar as mesmas regras ao denominador:
\left(a\cdot b^{2}\right)^{2} = \left(a\right)^{2}\cdot\left(b^{2}\right)^{2}.
Como a=a^{1}, temos \left(a\right)^{2}=a^{1\cdot 2}=a^{2}, e \left(b^{2}\right)^{2}=b^{2\cdot 2}=b^{4}. Então o denominador é
\left(a\cdot b^{2}\right)^{2}=a^{2}b^{4}.

Passo 5

Reescrevendo a fração com as formas simplificadas:
\frac{\left(a^{4}\cdot b^{2}\right)^{3}}{\left(a\cdot b^{2}\right)^{2}}=\frac{a^{12}b^{6}}{a^{2}b^{4}}.

Passo 6

Usar a regra da divisão de potências com mesma base separadamente para a e b:
\frac{a^{12}}{a^{2}}=a^{12-2}=a^{10}, \qquad \frac{b^{6}}{b^{4}}=b^{6-4}=b^{2}.
Multiplicando os resultados (pois as bases são independentes),
\frac{a^{12}b^{6}}{a^{2}b^{4}}=a^{10}b^{2}.

Passo 7

Verificação rápida por analogia (mini-exemplo para fixar): se tivéssemos \dfrac{(x^{2}y)^{3}}{(x y)^{2}}, com os mesmos passos daria \dfrac{x^{6}y^{3}}{x^{2}y^{2}}=x^{4}y^{1}=x^{4}y. Isso mostra o padrão de multiplicar expoentes no numerador e depois subtrair no quociente.

Resposta

a^{10}b^{2}

Exercícios relacionados