Classifique em Verdadeiro ou Falso cada uma das sentenças a seguir. Justifique suas respostas. Itens sem justificativas não serão avaliados.
Se A é uma matriz 2 \times 2 então \frac{1}{5} \operatorname{det}(5 A)=\operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar se é Verdadeiro ou Falso que, dada uma matriz 2\times2 A, valha
\frac{1}{5}\det(5A)=\det(A).
Para isso vamos usar a propriedade geral de determinantes de matrizes n\times n:
\det(cA)=c^{n}\det(A).

Passo 2

Como A é 2\times2 (portanto n=2), aplica-se a propriedade:
\det(5A)=5^{2}\det(A)=25\det(A),
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\frac{1}{5}\det(5A)=\frac{1}{5}\cdot25\det(A)=5\det(A),
e em geral 5\det(A)\neq\det(A).

Passo 3

Para ficar ainda mais claro, use o exemplo A=I_{2}. Então
\det(I_{2})=1 e
\frac{1}{5}\det(5I_{2}) =\frac{1}{5}\cdot25 =5 \neq1 =\det(I_{2}).
Isso mostra que a igualdade não vale para todo A.

Resposta

Falso

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