Se B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & -a & -1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}a & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right]. Calcule o valor de a para que \operatorname{det}\left(B . C^{T}\right)=0.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes B\in\mathbb{R}^{2\times3} e C\in\mathbb{R}^{2\times3} e pede o valor de a que anula o determinante de B\cdot C^{T}. Para isso vamos usar multiplicação de matrizes e cálculo de determinante de uma 2\times2.

Passo 2

Primeiro, calculamos a transposta de C e o produto
C^T = \begin{pmatrix} a & 0\\\\ 1 & -1\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix},
D = B\,C^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & -a & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0\\\\ 1 & -1\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2 & 4\\\ a & a-2 \end{pmatrix}.

Passo 3

O determinante de D é
\det(D) = (a+2)(a-2) - 4\cdot a = a^2 -4 -4a = a^2 -4a -4.
Para que \det(D)=0, precisamos resolver
a^2 -4a -4 = 0.

Passo 4

Usamos a fórmula de Bhaskara:
a = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 +16}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}.

Resposta

Os valores de a que satisfazem \det(B\,C^T)=0 são
a = 2 + 2\sqrt{2} \quad\text{ou}\quad a = 2 - 2\sqrt{2}.

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