Utilize o método de eliminação de Gauss para determinar a solução do seguinte sistema:
\left\{\begin{array}{r} x-2 y+z-w=0 \\\\ 2 x+y-2 z+w=1 \\\\ 3 x-3 y+z-w=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear
\begin{cases} x - 2y + z - w = 0,\\\\ 2x + y - 2z + w = 1,\\\\ 3x - 3y + z - w = 2 \end{cases}
usando eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para triangular o sistema.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 & | & 0\\\\ 2 & 1 & -2 & 1 & | & 1\\\\ 3 & -3 & 1 & -1 & | & 2 \end{pmatrix}
e eliminamos x nas linhas 2 e 3 subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 2 e 3 vezes a linha 1 da linha 3, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 & | & 0\\\\ 0 & 5 & -4 & 3 & | & 1\\\\ 0 & 3 & -2 & 2 & | & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos y na linha 3 substituindo a linha 3 por ela menos \tfrac{3}{5} vezes a linha 2. Isso resulta em
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 & | & 0\\\\ 0 & 5 & -4 & 3 & | & 1\\\\ 0 & 0 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & | & \tfrac{7}{5} \end{pmatrix}.
A terceira equação é
\tfrac{2}{5}z + \tfrac{1}{5}w = \tfrac{7}{5}.

Passo 4

Multiplicando a terceira equação por 5 temos
2z + w = 7,
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w = 7 - 2z.
A segunda equação é
5y -4z + 3w = 1.
Substituindo w obtemos
5y - 4z + 3(7 - 2z) = 1 \implies 5y - 10z = -20 \implies y = 2z - 4.

Passo 5

A primeira equação
x - 2y + z - w = 0
torna-se, após substituir y e w,
x - 2(2z - 4) + z - (7 - 2z) = 0 \implies x = z - 1.
Definindo z = t como parâmetro livre, temos
x = t - 1,\quad y = 2t - 4,\quad z = t,\quad w = 7 - 2t.

Resposta

\bigl(x,y,z,w\bigr) = \bigl(t - 1,\;2t - 4,\;t,\;7 - 2t\bigr), com t\in\mathbb{R}.

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