Seja U=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} ; x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0\right. e \left.-x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=0\right\} subespaço de \mathbb{R}^{3}. Determine um subespaço W de \mathbb{R}^{3} tal que \mathbb{R}^{3}=V \oplus W.

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
U = \bigl\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}\mid x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\;-x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=0\bigr\}
e pede um subespaço W de \mathbb{R}^{3} tal que
\mathbb{R}^{3} = U \oplus W.
O conteúdo aqui é decomposição em soma direta: vamos achar uma base de U, ver que \dim U=1 e depois escolher W de dimensão 2 que seja complemento direto.

Passo 2

Resolvendo o sistema que define U\): \[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\\\\ -\,x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=0, \end{cases}
somando as duas equações obtemos
5x_{2}+3x_{3}=0\;\Longrightarrow\;x_{2}=-\frac{3}{5}\,x_{3}.
Substituindo em (x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0] dá
x_{1}=-2x_{2}-x_{3} =-2\Bigl(-\tfrac{3}{5}x_{3}\Bigr)-x_{3} =\frac{1}{5}\,x_{3}.

Passo 3

Logo o vetor genérico de U é
(x_{1},x_{2},x_{3}) =\Bigl(\tfrac{1}{5}x_{3},-\tfrac{3}{5}x_{3},x_{3}\Bigr) =x_{3}\Bigl(\tfrac{1}{5},-\tfrac{3}{5},1\Bigr) =t\,(1,-3,5),
onde t=x_{3}/5. Assim
U=\mathrm{span}\{(1,-3,5)\}, \quad \dim U=1.
Precisamos então de um W de dimensão 2.

Passo 4

Escolhemos
W=\{(x_{1},x_{2},0)\mid x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\} =\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}.
  1. Se v\in U\cap W, então v=t(1,-3,5) e ao mesmo tempo v_{3}=0. Daí 5t=0, segue t=0 e v=0. Logo U\cap W=\{0\}.
  2. Dado (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}, escrevemos t=\frac{z}{5},\qquad w=(\,x-t\,,\,y+3t\,,\,0\,)\in W.Então t\,(1,-3,5)+w=(x,y,z),mostrando \mathbb{R}^{3}=U+W.
Como a interseção é trivial e a soma é todo \mathbb{R}^{3}, temos \mathbb{R}^{3}=U\oplus W.

Resposta

W=\{(x_{1},x_{2},0)\mid x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\} =\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}.

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