Verifique se em cada um dos itens o conjunto com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre . , operações usuais de M2(R).
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos verificar se
V = a & -b[6pt] b & a;;;a,binR
com as operações usuais de M2(R) é um espaço vetorial sobre R.
Conteúdo aplicado: subespaço vetorial de um espaço vetorial, que exige verificar (i) não vazio, (ii) fechado sob adição e (iii) fechado sob multiplicação por escalar.]
Passo 2
Verificação do elemento neutro (não vazio): o zero de M2(R) é
0 & 0[3pt]0 & 0,
que corresponde a a=0 e b=0. Logo o zero está em V, e Vneqemptyset.]
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
do conjunto . Então
que é novamente da forma com e . Logo .]
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja lambdainR e
X=a & -b[3pt] b & ain V
Então
lambda X =lambda a & -,lambda b[3pt]lambda b & lambda a,
que é da mesma forma com a'=lambda a e b'=lambda b. Logo lambda Xin V.]
Resposta
Sim. V é subespaço de M2( R) e, portanto, é um espaço vetorial sobre R.