Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
Dados U, W subespaços vetoriais de V com dim U+dim W=dim V então W+U=V.

Passo 1

O enunciado diz que U e W são subespaços de um espaço vetorial V e que
dim U + dim W = dim V
Pergunta-se se disso já se segue que U + W = V. O conteúdo aqui é a fórmula de dimensão da soma de subespaços.

Passo 2

Lembramos o teorema de soma de subespaços: para quaisquer subespaços U,Wsubseteq V,
dim(U+W) ;=;dim U + dim W ;-;diml(Ucap Wr)

Passo 3

Substituindo dim U+dim W=dim V na fórmula, obtemos
dim(U+W) =dim V ;-;diml(Ucap Wr) ;<=;dim V,
com igualdade se, e somente se, dim(Ucap W)=0, ou seja, Ucap W=0.

Passo 4

Portanto, para garantir U+W=V (isto é, dim(U+W)=dim V) é preciso que Ucap W seja trivial. Mas o enunciado não exige que a interseção seja 0.
Contra­exemplo em R^2: seja
U=W=reta >=rada por (1,0)
Então dim U=dim W=1 e dim U+dim W=2=dimR^2, mas
U+W=U;neq;R^2

Resposta

FALSO.

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