Fixada uma base em um espaço vetorial , sabemos que cada vetor se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de . Chamamos de coordenadas de um vetor numa base aos coeficientes dessa combinação linear (admitindo fixada a ordem dos vetores dessa base).
Por exemplo, fixada a base de , o vetor tem como coordenadas , pois:
p(t)=0 cdot t^3+3 cdot t^2+0 cdot t+2 cdot 1
Seja V=P3(R) e beta=t^3+t, t^3+t^2, t^3+1, t^2+1 uma base para V.
Encontre as coordenadas de um vetor genérico p(t)=x t^3+y t^2+z t+w em relação à base beta (respeitando a ordem com que os vetores aparecem).
Passo 1
O espaço é V=P3(R) e a base dada é
beta=,t^3+t,;t^3+t^2,;t^3+1,;t^2+1
Queremos as coordenadas de um polinômio genérico
p(t)=x,t^3+y,t^2+z,t+w
na base beta. Para isso vamos escrever
p(t)=a,(t^3+t)+b,(t^3+t^2)+c,(t^3+1)+d,(t^2+1)
e determinar a,b,c,d em função de x,y,z,w.
Passo 2
Escrevendo a combinação linear e coletando coeficientes, temos