Fixada uma base beta em um espaço vetorial V, sabemos que cada vetor v se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de beta. Chamamos de coordenadas de um vetor numa base aos coeficientes dessa combinação linear (admitindo fixada a ordem dos vetores dessa base).
Por exemplo, fixada a base alpha=t^3, t^2, t, 1 de P3(R), o vetor p(t)=3 t^2+2 tem como coordenadas [p(t)]beta=[l0 3 0 2], pois:
p(t)=0 cdot t^3+3 cdot t^2+0 cdot t+2 cdot 1
Seja V=P3(R) e beta=t^3+t, t^3+t^2, t^3+1, t^2+1 uma base para V.
Encontre as coordenadas de um vetor genérico p(t)=x t^3+y t^2+z t+w em relação à base beta (respeitando a ordem com que os vetores aparecem).

Passo 1

O espaço é V=P3(R) e a base dada é
beta=,t^3+t,;t^3+t^2,;t^3+1,;t^2+1
Queremos as coordenadas de um polinômio genérico
p(t)=x,t^3+y,t^2+z,t+w
na base beta. Para isso vamos escrever
p(t)=a,(t^3+t)+b,(t^3+t^2)+c,(t^3+1)+d,(t^2+1)
e determinar a,b,c,d em função de x,y,z,w.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e coletando coeficientes, temos
a,(t^3+t)&+b,(t^3+t^2)+c,(t^3+1)+d,(t^2+1) &=(a+b+c),t^3+(b+d),t^2+a,t+(c+d)
Esse polinômio deve coincidir com x,t^3+y,t^2+z,t+w.

Passo 3

Igualando coeficientes de cada grau obtemos o sistema
a+b+c = x, b+d = y, a = z, c+d = w

Passo 4

Da terceira equação vem
Substituindo em
As outras duas equações são
Subtraindo a última da penúltima dá
Agora resolvemos
cuja solução é
Finalmente, de (b+d=y] segue

Resposta

[p]beta = a b c d = z[6pt] dfracx+y - z - w2[6pt] dfracx - y - z + w2[6pt] dfrac-,x + y + z + w2 ]

Exercícios relacionados