Considere
A=[lll 1 & 1 & t 1 & t & t t & t & 1 ]
Para quais valores de t o sistema AX=[l1 1 1] tem uma única solução? Nenhuma solução? Infinitas soluções?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 1 & t 1 & t & t t & t & 1
e o vetor b=(1,1,1)^T. Queremos saber para quais valores de t o sistema
A x= b
tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. O conteúdo principal é usar o fato de que um sistema linear tem solução única exatamente quando det(A)neq0, e quando det(A)=0 investigar consistência e posto de A.

Passo 2

Calculamos o determinante de por expansão na primeira linha:
Cada menor é
Então
Fatorando o polinômio:

Passo 3

Como o sistema tem solução única exatamente quando det(A)neq0, concluímos que existe solução única para
-(t-1)^2(t+1)neq0 Long<=ftrightarrow tneq1 e tneq-1

Passo 4

No caso t=1 temos
A=1&1&11&1&11&1&1,
cujo posto é 1 (todas as linhas iguais). O vetor b=(1,1,1)^T está no espaço gerado por essas linhas, portanto o sistema é consistente. Como o posto é 1 e há 3 incógnitas, há 3-1=2 graus de liberdade, logo infinitas soluções.

Passo 5

No caso t=-1 a matriz é
A= 1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1
Fazendo operações elementares, obtém-se uma linha nula ao mesmo tempo em que a entrada equivalente no vetor ampliado é não nula. Logo o sistema é inconsistente e não tem solução.

Resposta

Solução única para tneq1 e tneq-1.
Nenhuma solução para t=-1.
Infinitas soluções para t=1.

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