Nos itens abaixo, mostre que o triângulo de vértices (P, Q) e ® é isoceles:
P(1,0,-1) ; Q(2,2,3) ; R(5,1,1)

Passo 1

O enunciado dá os vértices
P=(1,0,-1), Q=(2,2,3) e R=(5,1,1) no espaço R^3. Queremos mostrar que o triângulo PQR é isósceles, ou seja, possui dois lados de mesmo comprimento. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos A=(xA,yA,zA) e B=(xB,yB,zB):
|AB| ;=;raiz(xB - xA)^2 ;+;(yB - yA)^2 ;+;(zB - zA)^2

Passo 2

Calcular o vetor PQ e seu comprimento.
PQ = Q - P = (2-1,;2-0,;3-(-1)) = (1,2,4)
Logo,
|PQ|^2 = 1^2 + 2^2 + 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21,
|PQ| = raiz21

Passo 3

Calcular o vetor PR e seu comprimento.
PR = R - P = (5-1,;1-0,;1-(-1)) = (4,1,2)
Logo,
|PR|^2 = 4^2 + 1^2 + 2^2 = 16 + 1 + 4 = 21,
|PR| = raiz21

Passo 4

Calcular o vetor QR e seu comprimento.
QR = R - Q = (5-2,;1-2,;1-3) = (3,-1,-2)
Logo,
|QR|^2 = 3^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14,
|QR| = raiz14

Passo 5

Observamos que
|PQ| = |PR| = raiz21
e
|QR| = raiz14neq raiz21
Logo, os lados PQ e PR são iguais, enquanto QR é diferente. Portanto o triângulo PQR é isósceles.

Resposta

O triângulo PQR é isósceles, pois
PQ = PR = raiz21 e QR = raiz14

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