Sabe-se que o vetor u=(1,8, alpha) in R^3, com alpha<0, tem módulo igual a 9 .
(a) Determine o valor de alpha;
(b) Encontre o vetor v que seja colinear a u, tenha sentido oposto a este e módulo igual à 12 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de vetores no espaço tridimensional, especificamente sobre como encontrar um componente desconhecido ( alpha) e como determinar outro vetor que seja colinear, mas com sentido oposto e módulo diferente. Para isso, vamos usar conceitos de módulo de vetor e vetores colineares.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: determinar o valor de alpha. Temos o vetor u = (1, 8, alpha) e sabemos que o módulo desse vetor é igual a 9. O módulo de um vetor u = (u1, u2, u3) é dado pela fórmula:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso vetor:
|u| = raiz1^2 + 8^2 + alpha^2 = 9
Vamos resolver essa equação para encontrar alpha.

Passo 4

Calculando os quadrados:
raiz1 + 64 + alpha^2 = 9
Simplificando:
raiz65 + alpha^2 = 9

Passo 5

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
65 + alpha^2 = 81
Subtraindo 65 de ambos os lados:
alpha^2 = 16

Passo 6

Para encontrar alpha, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
alpha = pm4
Como foi dado que alpha < 0, escolhemos:
alpha = -4

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): encontrar o vetor v que seja colinear a u, tenha sentido oposto e módulo igual a 12. Dois vetores são colineares se um for múltiplo escalar do outro. Além disso, para que tenham sentidos opostos, o múltiplo escalar deve ser negativo.

Passo 8

Vamos chamar o múltiplo escalar de k. Então:
v = k cdot u
Sabemos que o módulo de v deve ser 12:
|v| = |k| cdot |u| = 12
Como |u| = 9:
|k| cdot 9 = 12 implies |k| = 129 = 43
Como queremos sentido oposto, k é negativo:
k = -43

Passo 9

Agora, aplicamos o valor de k ao vetor u:
v = -43 cdot (1, 8, -4) = (-43, -323, 163)

Resposta

(a) alpha = -4
(b) O vetor v é (-dfrac43, -dfrac323, dfrac163).

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