Sabe-se que o vetor
, com
, tem módulo igual a 9 .
(a) Determine o valor de
;
(b) Encontre o vetor
que seja colinear a
, tenha sentido oposto a este e módulo igual à 12 .
(a) Determine o valor de
(b) Encontre o vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de vetores no espaço tridimensional, especificamente sobre como encontrar um componente desconhecido (
) e como determinar outro vetor que seja colinear, mas com sentido oposto e módulo diferente. Para isso, vamos usar conceitos de módulo de vetor e vetores colineares.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: determinar o valor de
. Temos o vetor
e sabemos que o módulo desse vetor é igual a 9. O módulo de um vetor
é dado pela fórmula:
Passo 3
Aplicando essa fórmula ao nosso vetor:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 4
Calculando os quadrados:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo 65 de ambos os lados:
Passo 6
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Como foi dado que
, escolhemos:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b): encontrar o vetor
que seja colinear a
, tenha sentido oposto e módulo igual a 12. Dois vetores são colineares se um for múltiplo escalar do outro. Além disso, para que tenham sentidos opostos, o múltiplo escalar deve ser negativo.
Passo 8
Vamos chamar o múltiplo escalar de
. Então:
Sabemos que o módulo de
deve ser 12:
Como
:
Como queremos sentido oposto,
é negativo:
Passo 9
Agora, aplicamos o valor de
ao vetor
:
Resposta
(a)
(b) O vetor
é
.