Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
Se a intersecção de conjuntos de vetores LI é não vazia, então ela não pode ser um conjunto de vetores LD.

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa questão! O enunciado fala sobre intersecção de conjuntos de vetores que são Linearmente Independentes (LI) e Linearmente Dependentes (LD). Para resolver, precisamos entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD e como a intersecção desses conjuntos se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar as definições:
  • Linearmente Independentes (LI): Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em outras palavras, não há redundância entre os vetores.
    Matematicamente, um conjunto v1, v2, dots, vn é LI se a única solução para a equação
c1v1 + c2v2 + dots + cnvn = 0
é c1 = c2 = dots = cn = 0 .
  • Linearmente Dependentes (LD): Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, há redundância.
Agora, a intersecção de conjuntos de vetores LI ser não vazia significa que existem vetores que pertencem a ambos os conjuntos LI.

Passo 3

Vamos analisar o enunciado: “Se a intersecção de conjuntos de vetores LI é não vazia, então ela não pode ser um conjunto de vetores LD.”
Se a intersecção não é vazia, temos pelo menos um vetor que é LI. Mas um único vetor sempre é LI, porque não há outros vetores com os quais ele possa depender. Portanto, esse vetor isolado não é LD.
Além disso, se considerarmos que a intersecção tem mais de um vetor, e eles pertencem a conjuntos LI, esses vetores também são LI entre si, pois não dependem linearmente uns dos outros.

Resposta

VERDADEIRO. Se a intersecção de conjuntos de vetores LI não é vazia, o conjunto resultante é LI e, portanto, não pode ser LD.

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