Sejam A um anel e p(x) in A[x]. Mostre que a soma dos coeficientes de p(x) é p(1). Qual é a soma dos coeficientes de p(x)=(7 x^4-3 x^3-4 x^2-2 x+1)^10 in R[x] ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que, para um polinômio genérico
a soma dos coeficientes é exatamente ; e (ii) aplicar isso ao polinômio
para calcular rapidamente a soma de seus coeficientes.

Passo 2

Seja
p(x)=sumi=0^n ai x^i
Basta observar que
p(1)=sumi=0^n aicdot1^i=sumi=0^n ai,
ou seja, ao substituir x=1 todos os termos ai x^i viram ai, e a soma resultante é exatamente a soma dos coeficientes.

Passo 3

Para o polinômio dado
q(x)=7x^4 - 3x^3 - 4x^2 - 2x + 1,
temos
q(1)=7 - 3 - 4 - 2 + 1 = -1
Logo
p(1)=l(q(1)r)^10=(-1)^10

Passo 4

Como
(-1)^10=1,
concluímos que a soma dos coeficientes de p(x) é 1.

Resposta

A soma dos coeficientes de l(7x^4-3x^3-4x^2-2x+1r)^10 é 1.

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