Sejam
um anel e
. Mostre que a soma dos coeficientes de
é
. Qual é a soma dos coeficientes de
?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que, para um polinômio genérico
a soma dos coeficientes
é exatamente
; e (ii) aplicar isso ao polinômio
para calcular rapidamente a soma de seus coeficientes.
Passo 2
Seja
Basta observar que
ou seja, ao substituir
todos os termos
viram
, e a soma resultante é exatamente a soma dos coeficientes.
Passo 3
Para o polinômio dado
temos
Logo
Passo 4
Como
concluímos que a soma dos coeficientes de
é
.
Resposta
A soma dos coeficientes de
é
.