Fixada uma base em um espaço vetorial , sabemos que cada vetor se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de . Chamamos de coordenadas de um vetor numa base aos coeficientes dessa combinação linear (admitindo fixada a ordem dos vetores dessa base).
Por exemplo, fixada a base , em M2(R) as coordenadas de v=(cc-1 & 1 0 & 0) são [v]beta=[c-1 1 0 0], pois
Seja V=M2(R) e beta=(cc1 & 0 -1 & 0),(cc-1 & 1 0 & 0),(cc1 & 0 0 & -1),(cc0 & -1 -1 & 1) uma base para V.
Encontre as coordenadas de uma matriz genérica A=(ccx & y z & w) em relação à base beta (respeitando a ordem com que os vetores aparecem).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as coordenadas de uma matriz genérica A = x & y z & w em relação a uma base específica beta no espaço vetorial V = M2(R) , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Na matemática, uma base é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que serve para representar qualquer vetor do espaço como uma combinação linear única desses vetores da base. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar A como uma combinação linear dos elementos da base beta .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a base beta que foi dada: