Fixada uma base beta em um espaço vetorial V, sabemos que cada vetor v se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de beta. Chamamos de coordenadas de um vetor numa base aos coeficientes dessa combinação linear (admitindo fixada a ordem dos vetores dessa base).
Por exemplo, fixada a base alpha=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1), em M2(R) as coordenadas de v=(cc-1 & 1 0 & 0) são [v]beta=[c-1 1 0 0], pois
(cc -1 & 1 0 & 0 )=-1 cdot(cc 1 & 0 0 & 0 )+1 cdot(cc 0 & 1 0 & 0 )+0 cdot(ll 0 & 0 1 & 0 )+0 cdot(ll 0 & 0 0 & 1 )
Seja V=M2(R) e beta=(cc1 & 0 -1 & 0),(cc-1 & 1 0 & 0),(cc1 & 0 0 & -1),(cc0 & -1 -1 & 1) uma base para V.
Encontre as coordenadas de uma matriz genérica A=(ccx & y z & w) em relação à base beta (respeitando a ordem com que os vetores aparecem).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as coordenadas de uma matriz genérica A = x & y z & w em relação a uma base específica beta no espaço vetorial V = M2(R) , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Na matemática, uma base é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que serve para representar qualquer vetor do espaço como uma combinação linear única desses vetores da base. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar A como uma combinação linear dos elementos da base beta .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a base beta que foi dada:
beta = 1 & 0 -1 & 0 , -1 & 1 0 & 0 , 1 & 0 0 & -1 , 0 & -1 -1 & 1
Queremos encontrar escalares c1, c2, c3, c4 tais que:
A = c1 cdot 1 & 0 -1 & 0 + c2 cdot -1 & 1 0 & 0 + c3 cdot 1 & 0 0 & -1 + c4 cdot 0 & -1 -1 & 1

Passo 3

Vamos fazer essa combinação linear explicitamente:
x & y z & w = c1 1 & 0 -1 & 0 + c2 -1 & 1 0 & 0 + c3 1 & 0 0 & -1 + c4 0 & -1 -1 & 1
Agora, vamos somar as matrizes do lado direito:
= c1(-1) + c2(-1) + c3(1) + c4(0) & c1(0) + c2(1) + c3(0) + c4(-1) c1(-1) + c2(0) + c3(0) + c4(-1) & c1(0) + c2(0) + c3(-1) + c4(1)

Passo 4

Agora, igualamos as entradas correspondentes das matrizes:
x = c1 cdot 1 + c2 cdot (-1) + c3 cdot 1 + c4 cdot 0 y = c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 0 + c4 cdot (-1) z = c1 cdot (-1) + c2 cdot 0 + c3 cdot 0 + c4 cdot (-1) w = c1 cdot 0 + c2 cdot 0 + c3 cdot (-1) + c4 cdot 1
Simplificando:
x = c1 - c2 + c3 y = c2 - c4 z = -c1 - c4 w = -c3 + c4

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações lineares para resolver:
c1 - c2 + c3 = x c2 - c4 = y - c1 - c4 = z - c3 + c4 = w
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Primeiro, da segunda equação: c2 - c4 = y , podemos expressar c2 em termos de c4 :
c2 = y + c4

Passo 7

Da quarta equação: -c3 + c4 = w , podemos isolar c3 :
c3 = c4 - w

Passo 8

Agora, da terceira equação: -c1 - c4 = z , isolamos c1 :
c1 = -z - c4

Passo 9

Substituímos c1 , c2 , e c3 nas variáveis encontradas na primeira equação:
(-z - c4) - (y + c4) + (c4 - w) = x
Simplificando:
- z - c4 - y - c4 + c4 - w = x - z - y - c4 - w = x
Resolvendo para c4 :
- z - y - w - x = c4 c4 = - (x + y + z + w)

Passo 10

Agora que temos c4 , podemos encontrar os demais coeficientes:
c2 = y + c4 = y - (x + y + z + w) = -x - z - w c3 = c4 - w = - (x + y + z + w) - w = -x - y - z - 2w c1 = -z - c4 = -z + (x + y + z + w) = x + y + w

Passo 11

Portanto, as coordenadas de A em relação à base beta são:
[A]beta = c1 c2 c3 c4 = x + y + w -x - z - w -x - y - z - 2w -x - y - z - w

Resposta

As coordenadas de A = x & y z & w em relação à base beta são:
[A]beta = x + y + w -x - z - w -x - y - z - 2w -x - y - z - w

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