Determine f(x) in Q[x], sabendo que partial(f(x))=2, f(13)=23 que as raízes de f(x) são 0 e 3 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um polinômio f(x) com coeficientes racionais ( Q[x] ). As informações que temos são:
  1. A derivada de f(x) , ou seja, f'(x) , é igual a 2.
  2. Quando substituímos x por 13 em f(x) , o resultado é 23 .
  3. As raízes de f(x) são 0 e 3, o que significa que f(0) = 0 e f(3) = 0 .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo (derivadas) e álgebra (raízes de polinômios) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na derivada f'(x) = 2 . Isso significa que o polinômio f(x) é tal que sua derivada é uma constante 2. Sabemos que a derivada de ax + b é a . Então, se f'(x) = 2 , f(x) deve ser uma função cuja derivada é 2.
Integrando a derivada, temos:
f(x) = integral 2 , dx = 2x + C
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 3

Mas temos mais informações! Sabemos que f(0) = 0 porque 0 é uma raiz de f(x) . Vamos usar isso para encontrar C :
f(0) = 2(0) + C = 0 implies C = 0
Então, a função até agora é:
f(x) = 2x

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa função atende à outra condição: f( 13 ) = 23 .
Substituindo x por 13 na função:
f( 13 ) = 2 ( 13 ) = 23
Funciona perfeitamente!

Passo 5

Mas tem mais uma raiz: 3. Vamos verificar se f(3) = 0 :
f(3) = 2(3) = 6 neq 0
Opa, não bateu. Isso significa que nossa função atual não tem 3 como raiz. Precisamos ajustar isso.

Passo 6

Para ter 0 e 3 como raízes, o polinômio deve ser da forma:
f(x) = kx(x - 3)
Onde k é uma constante que vamos determinar.

Passo 7

Vamos encontrar k usando a derivada. Vamos derivar f(x) :
f'(x) = ddx [k x (x - 3)] = k (2x - 3)
Sabemos que f'(x) = 2 , então:
k (2x - 3) = 2
Como essa igualdade deve valer para todo x , a única maneira disso acontecer é se o coeficiente de x for zero e o termo constante seja 2. Então:
2k = 0 implies k = 0 e -3k = 2
Isso não faz sentido, então precisamos rever nossa abordagem.

Passo 8

Vamos reconsiderar. Talvez f'(x) = 2 indique que o polinômio é de primeiro grau. Mas temos duas raízes, 0 e 3, o que sugere um polinômio de segundo grau. Parece ter uma contradição.
Na verdade, a informação correta é que f'(x) é constante, o que só acontece se f(x) for linear. Isso implica que somente uma raiz é possível, mas nos foram dadas duas raízes.
Isso sugere que o problema pode ter um erro ou que interpretamos algo errado.

Resposta

Parece que há uma inconsistência nas informações fornecidas, já que não é possível ter um polinômio linear com duas raízes distintas. Recomendo revisar o enunciado ou as condições dadas.

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