Determine
, sabendo que
que as raízes de
são 0 e 3 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar um polinômio
com coeficientes racionais (
). As informações que temos são:
- A derivada de
, ou seja, , é igual a 2. - Quando substituímos
por em , o resultado é . - As raízes de
são 0 e 3, o que significa que e .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo (derivadas) e álgebra (raízes de polinômios) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na derivada
. Isso significa que o polinômio
é tal que sua derivada é uma constante 2. Sabemos que a derivada de
é
. Então, se
,
deve ser uma função cuja derivada é 2.
Integrando a derivada, temos:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 3
Mas temos mais informações! Sabemos que
porque 0 é uma raiz de
. Vamos usar isso para encontrar
:
Então, a função até agora é:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa função atende à outra condição:
.
Substituindo
por
na função:
Funciona perfeitamente!
Passo 5
Mas tem mais uma raiz: 3. Vamos verificar se
:
Opa, não bateu. Isso significa que nossa função atual não tem 3 como raiz. Precisamos ajustar isso.
Passo 6
Para ter 0 e 3 como raízes, o polinômio deve ser da forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 7
Vamos encontrar
usando a derivada. Vamos derivar
:
Sabemos que
, então:
Como essa igualdade deve valer para todo
, a única maneira disso acontecer é se o coeficiente de
for zero e o termo constante seja 2. Então:
Isso não faz sentido, então precisamos rever nossa abordagem.
Passo 8
Vamos reconsiderar. Talvez
indique que o polinômio é de primeiro grau. Mas temos duas raízes, 0 e 3, o que sugere um polinômio de segundo grau. Parece ter uma contradição.
Na verdade, a informação correta é que
é constante, o que só acontece se
for linear. Isso implica que somente uma raiz é possível, mas nos foram dadas duas raízes.
Isso sugere que o problema pode ter um erro ou que interpretamos algo errado.
Resposta
Parece que há uma inconsistência nas informações fornecidas, já que não é possível ter um polinômio linear com duas raízes distintas. Recomendo revisar o enunciado ou as condições dadas.