Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
Sempre que retiramos um vetor de um conjunto LD obtemos um conjunto de vetores LI.
Sempre que retiramos um vetor de um conjunto LD obtemos um conjunto de vetores LI.
Passo 1
O enunciado afirma que “sempre que retiramos um vetor de um conjunto linearmente dependente obtemos um conjunto linearmente independente”. O conteúdo é dependência e independência linear de vetores, e vamos precisar da definição de cada um para avaliar essa afirmação.
Passo 2
Lembrando as definições: um conjunto de vetores
é linearmente dependente se existem escalares
, não todos nulos, tais que
Se não há combinação não trivial que dê zero, o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
A afirmação diz que, dado um conjunto LD, basta remover qualquer um de seus vetores para restar um conjunto LI. Para que isso fosse sempre verdade, a remoção de um vetor teria de “quebrar” toda combinação não trivial que existia.
Passo 4
Contra-exemplo em
: considere
O conjunto
é LD pois, por exemplo,
uma combinação não trivial. Agora remova
. O conjunto
continua LD, pois
e essa combinação não envolve
. Logo, a remoção de
não tornou
um conjunto LI.
Resposta
FALSO. Sempre que retiramos um vetor de um conjunto LD não garantimos que o conjunto remanescente seja LI.