Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
Sempre que retiramos um vetor de um conjunto LD obtemos um conjunto de vetores LI.

Passo 1

O enunciado afirma que “sempre que retiramos um vetor de um conjunto linearmente dependente obtemos um conjunto linearmente independente”. O conteúdo é dependência e independência linear de vetores, e vamos precisar da definição de cada um para avaliar essa afirmação.

Passo 2

Lembrando as definições: um conjunto de vetores S=v1,dots,vn é linearmente dependente se existem escalares a1,dots,an, não todos nulos, tais que
a1v1 + a2v2 + cdots + anvn = 0
Se não há combinação não trivial que dê zero, o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

A afirmação diz que, dado um conjunto LD, basta remover qualquer um de seus vetores para restar um conjunto LI. Para que isso fosse sempre verdade, a remoção de um vetor teria de “quebrar” toda combinação não trivial que existia.

Passo 4

Contra-exemplo em R^2: considere
v1 = (1,0), v2=(0,1), v3=(1,1), v4=(2,2)
O conjunto S=v1,v2,v3,v4 é LD pois, por exemplo,
v4 - 2v3 = (2,2) - 2,(1,1) = (0,0),
uma combinação não trivial. Agora remova v3. O conjunto
S'=v1,v2,v4
continua LD, pois
v4 - 2v1 - 2v2 = (2,2) - 2,(1,0) - 2,(0,1) = (0,0),
e essa combinação não envolve v3. Logo, a remoção de v3 não tornou S' um conjunto LI.

Resposta

FALSO. Sempre que retiramos um vetor de um conjunto LD não garantimos que o conjunto remanescente seja LI.

Exercícios relacionados