Seja A3 times 3 a matriz da projeção sobre um certo plano. Se (2,0,1) é projetado em (1,1,0). Determine A.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A de projeção 3 times 3 que projeta vetores sobre um certo plano. A informação que nos foi dada é que o vetor (2, 0, 1) é projetado no vetor (1, 1, 0) . Nosso objetivo é determinar qual é essa matriz A . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre matrizes de projeção e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de projeção A tem a propriedade de que, quando aplicada a um vetor, ela “projeta” esse vetor em um subespaço específico, no caso, um plano. Matematicamente, isso significa que se v é o vetor original, então Av é a projeção desse vetor no plano.

Passo 3

Sabemos que A é uma matriz 3 times 3 , então podemos escrevê-la da seguinte forma:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, i .

Passo 4

Sabemos que o vetor (2, 0, 1) é projetado em (1, 1, 0) . Isso nos dá a equação:
A 2 0 1 = 1 1 0
Vamos multiplicar a matriz A pelo vetor (2, 0, 1) :
a & b & c d & e & f g & h & i 2 0 1 = 2a + c 2d + f 2g + i = 1 1 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2a + c = 1 2d + f = 1 2g + i = 0

Passo 5

Precisamos de mais informações para resolver esse sistema, já que temos 3 equações e 9 incógnitas. Uma maneira de proceder é assumir que A é uma matriz de projeção ortogonal, ou seja, A = A^2 e A é simétrica ( A = A^T ). Isso nos dá mais restrições.

Passo 6

A propriedade A = A^2 implica que a matriz é idempotente. Além disso, A = A^T significa que a = d = g , b = e = h , e c = f = i . Vamos usar essas propriedades para simplificar.

Passo 7

Assumindo A = A^T , temos:
a = d = g, b = e = h, c = f = i
Substituindo isso no sistema de equações:
2a + c = 1 2a + c = 1 2a + c = 0
Perceba que há uma inconsistência aqui, o que indica que nossa suposição pode estar incorreta ou que informações adicionais são necessárias.

Passo 8

Para resolver de forma consistente, vamos considerar que a matriz de projeção A pode ser expressa como A = I - nn^T|n|^2 , onde n é o vetor normal ao plano. Porém, sem o vetor normal, não podemos determinar A diretamente. Assim, a informação fornecida não é suficiente para determinar unicamente a matriz A .

Resposta

Não é possível determinar unicamente a matriz de projeção A com as informações fornecidas.

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