Seja a matriz da projeção sobre um certo plano. Se é projetado em . Determine .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de projeção que projeta vetores sobre um certo plano. A informação que nos foi dada é que o vetor é projetado no vetor . Nosso objetivo é determinar qual é essa matriz . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre matrizes de projeção e como elas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de projeção tem a propriedade de que, quando aplicada a um vetor, ela “projeta” esse vetor em um subespaço específico, no caso, um plano. Matematicamente, isso significa que se é o vetor original, então é a projeção desse vetor no plano.
Passo 3
Sabemos que é uma matriz , então podemos escrevê-la da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, i .
Passo 4
Sabemos que o vetor (2, 0, 1) é projetado em (1, 1, 0) . Isso nos dá a equação:
A 2 0 1 = 1 1 0
Vamos multiplicar a matriz A pelo vetor (2, 0, 1) :
a & b & c d & e & f g & h & i 2 0 1 = 2a + c 2d + f 2g + i = 1 1 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2a + c = 1 2d + f = 1 2g + i = 0
Passo 5
Precisamos de mais informações para resolver esse sistema, já que temos 3 equações e 9 incógnitas. Uma maneira de proceder é assumir que A é uma matriz de projeção ortogonal, ou seja, A = A^2 e A é simétrica ( A = A^T ). Isso nos dá mais restrições.
Passo 6
A propriedade A = A^2 implica que a matriz é idempotente. Além disso, A = A^T significa que a = d = g , b = e = h , e c = f = i . Vamos usar essas propriedades para simplificar.
Passo 7
Assumindo A = A^T , temos:
a = d = g, b = e = h, c = f = i
Substituindo isso no sistema de equações:
2a + c = 1 2a + c = 1 2a + c = 0
Perceba que há uma inconsistência aqui, o que indica que nossa suposição pode estar incorreta ou que informações adicionais são necessárias.
Passo 8
Para resolver de forma consistente, vamos considerar que a matriz de projeção A pode ser expressa como A = I - nn^T|n|^2 , onde n é o vetor normal ao plano. Porém, sem o vetor normal, não podemos determinar A diretamente. Assim, a informação fornecida não é suficiente para determinar unicamente a matriz A .
Resposta
Não é possível determinar unicamente a matriz de projeção A com as informações fornecidas.