Seja
a matriz de uma projeção. Calcule
. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma matriz de projeção, chamada de
. Precisamos calcular
e justificar o resultado. Então, vamos trabalhar com projeções e usar algumas propriedades básicas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma matriz de projeção
tem uma propriedade bem legal: quando você multiplica
por ela mesma, o resultado é ela mesma. Ou seja,
. Essa propriedade se chama idempotência e é super importante para matrizes de projeção.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Podemos distribuir o
para facilitar:
Passo 4
Olha só, na segunda parte da equação, temos
. Mas, como dissemos antes,
, então:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na equação original:
Ou seja, tudo se cancela e o resultado é o vetor nulo.