Seja A a matriz de uma projeção. Calcule A(v-A v). Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma matriz de projeção, chamada de A. Precisamos calcular A(v - A v) e justificar o resultado. Então, vamos trabalhar com projeções e usar algumas propriedades básicas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma matriz de projeção A tem uma propriedade bem legal: quando você multiplica A por ela mesma, o resultado é ela mesma. Ou seja, A^2 = A. Essa propriedade se chama idempotência e é super importante para matrizes de projeção.

Passo 3

Agora, vamos calcular A(v - A v). Podemos distribuir o A para facilitar:
A(v - A v) = A v - A (A v)

Passo 4

Olha só, na segunda parte da equação, temos A (A v). Mas, como dissemos antes, A^2 = A, então:
A (A v) = A^2 v = A v

Passo 5

Agora, substituímos de volta na equação original:
A v - A (A v) = A v - A v = 0
Ou seja, tudo se cancela e o resultado é o vetor nulo.

Resposta

A(v - A v) = 0

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