Sejam
matriz inversível e
um conjunto LI. Então,
é LI. Verifique se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz invertível de ordem
e que
é um conjunto linearmente independente em
. Queremos verificar se o conjunto
também é linearmente independente. O conteúdo principal aqui é a relação entre inversibilidade de uma transformação linear (matriz invertível) e preservação de independência linear.
Passo 2
Lembrando que um conjunto
é linearmente independente se, sempre que
então todos os coeficientes
são zero. Vamos aplicar essa definição ao conjunto
.
Passo 3
Suponha que existam escalares
tais que
Podemos fatorar
nessa soma, pois é uma operação linear:
Passo 4
Como
é invertível, ela é injetora, ou seja, a única solução de
é
. Portanto, do passo anterior segue
Mas como
é linearmente independente, isso implica que
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. A prova se baseia no fato de que uma matriz invertível é injetora e, portanto, não pode enviar nenhuma combinação não-trivial para o vetor zero, preservando assim a independência linear.