Sejam An times n matriz inversível e v1, cdots, vk subset R^n um conjunto LI. Então, A v1, cdots, A vk subset R^n é LI. Verifique se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz invertível de ordem n e que vec v1,dots,vec vk é um conjunto linearmente independente em R^n. Queremos verificar se o conjunto Avec v1,dots,Avec vk também é linearmente independente. O conteúdo principal aqui é a relação entre inversibilidade de uma transformação linear (matriz invertível) e preservação de independência linear.

Passo 2

Lembrando que um conjunto vec w1,dots,vec wk é linearmente independente se, sempre que
alpha1 vec w1 + cdots + alphak vec wk = vec 0,
então todos os coeficientes alphai são zero. Vamos aplicar essa definição ao conjunto Avec v1,dots,Avec vk.

Passo 3

Suponha que existam escalares alpha1,dots,alphak tais que
alpha1,(Avec v1);+;cdots+;alphak,(Avec vk);=;vec 0
Podemos fatorar A nessa soma, pois é uma operação linear:
Al(alpha1vec v1 + cdots + alphakvec vkr) ;=;vec 0

Passo 4

Como A é invertível, ela é injetora, ou seja, a única solução de
Avec x = vec 0
é vec x = vec 0. Portanto, do passo anterior segue
alpha1vec v1 + cdots + alphakvec vk ;=;vec 0
Mas como vec v1,dots,vec vk é linearmente independente, isso implica que alpha1=cdots=alphak=0.

Resposta

A afirmação é verdadeira. A prova se baseia no fato de que uma matriz invertível é injetora e, portanto, não pode enviar nenhuma combinação não-trivial para o vetor zero, preservando assim a independência linear.

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