Seja V=M2(R) e beta=(ll1 & 0 1 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll1 & 0 0 & 1),(ll0 & 1 0 & 1) uma base para V.
Encontre as coordenadas de uma matriz genérica A=(ccx & y z & w) em relação à base beta (respeitando a ordem com que os vetores aparecem).

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz genérica
A = x & y z & w
como combinação linear dos vetores da base
beta = le1=1&01&0,;e2=1&10&0,;e3=1&00&1,;e4=0&10&1r
Isso significa achar escalares a,b,c,d tais que
A = a,e1 + b,e2 + c,e3 + d,e4

Passo 2

Escrevendo explicitamente a combinação linear, temos
a1&01&0 + b1&10&0 + c1&00&1 + d0&10&1 = a+b+c & b+d [6pt] a & c+d ]

Passo 3

Comparando com , obtemos o sistema

Passo 4

Da terceira equação vem
a = z
Substituindo nas outras, fica
b + c = x - z, b + d = y, c + d = w
Somando as duas últimas e subtraindo a primeira:
(b+d)+(c+d)-(b+c)=y+w-(x-z);Longrightarrow;2d = y + w - x + z ;Longrightarrow; d = y + w - x + z2
Depois,
b = y - d = 2y - (y + w - x + z)2 = x + y - z - w2,
c = w - d = 2w - (y + w - x + z)2 = x - y - z + w2

Passo 5

Portanto, as coordenadas de A na base beta, respeitando a ordem (e1,e2,e3,e4), são
(a,b,c,d) = l(z,;tfracx+y-z-w2,;tfracx-y-z+w2,;tfrac-,x+y+z+w2r)

Resposta

[A]beta = l(z,;tfracx+y-z-w2,;tfracx-y-z+w2,;tfrac-x+y+z+w2r).

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