Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem dois subespaços vetoriais no espaço :
Subespaço : Gerado pelos vetores , e .
Subespaço : Conjunto de vetores que satisfazem a equação .
O que a gente quer encontrar é , que é a soma desses dois subespaços. Para isso, vamos precisar entender como somar subespaços e usar conceitos de dimensão e base de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a soma de dois subespaços, . Basicamente, essa soma é formada por todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de com um vetor de . Matemáticamente, isso é:
Passo 3
Agora, precisamos entender as dimensões desses subespaços. A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Vamos começar com .
Subespaço :
Temos três vetores. Vamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, a dimensão de é 3.
Subespaço :
A equação impõe uma restrição nos vetores de . Como estamos em , essa equação reduz a dimensão em 1. Então, a dimensão de é .
Passo 4
Para encontrar a dimensão de , usamos a seguinte fórmula:
Já sabemos que e . Agora, precisamos descobrir , que é a dimensão da interseção dos dois subespaços.
Passo 5
Vamos encontrar [W \cap U), ou seja, os vetores que estão tanto em quanto em . Isso significa que esses vetores devem satisfazer a equação de e também serem combinações lineares dos vetores que geram .