Considere os subespaços U=[(-1,0,-2,1),(0,2,7,2),(3,4,17,0)] e W=(x, y, z, w) in R^4: x-y+2 z=0 de R^4. Determine:
W+U.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem dois subespaços vetoriais no espaço R^4:
  • Subespaço U: Gerado pelos vetores (-1, 0, -2, 1), (0, 2, 7, 2) e (3, 4, 17, 0).
  • Subespaço W: Conjunto de vetores (x, y, z, w) que satisfazem a equação x - y + 2z = 0.
O que a gente quer encontrar é W + U, que é a soma desses dois subespaços. Para isso, vamos precisar entender como somar subespaços e usar conceitos de dimensão e base de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a soma de dois subespaços, W + U. Basicamente, essa soma é formada por todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de W com um vetor de U. Matemáticamente, isso é:
W + U = w + u mid w in W, u in U

Passo 3

Agora, precisamos entender as dimensões desses subespaços. A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Vamos começar com U.
bul<=t Subespaço U:
Temos três vetores. Vamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, a dimensão de U é 3.
bul<=t Subespaço W:
A equação x - y + 2z = 0 impõe uma restrição nos vetores de W. Como estamos em R^4, essa equação reduz a dimensão em 1. Então, a dimensão de W é 4 - 1 = 3.

Passo 4

Para encontrar a dimensão de W + U, usamos a seguinte fórmula:
dim(W + U) = dim(W) + dim(U) - dim(W cap U)
Já sabemos que dim(W) = 3 e dim(U) = 3. Agora, precisamos descobrir dim(W cap U), que é a dimensão da interseção dos dois subespaços.

Passo 5

Vamos encontrar [W \cap U), ou seja, os vetores que estão tanto em quanto em . Isso significa que esses vetores devem satisfazer a equação de e também serem combinações lineares dos vetores que geram .
Vamos supor que . Então,
E deve satisfazer .
Vamos montar o sistema:
Substituindo , na última equação:
Simplificando:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação -5a + 12b + 33c = 0 .
Podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, resolver para a:
a = 12b + 33c5
Isso mostra que há dois graus de liberdade (b e c podem ser quaisquer valores), então dim(W cap U) = 2.

Passo 7

Voltando à fórmula da dimensão da soma:
dim(W + U) = 3 + 3 - 2 = 4
Como estamos trabalhando em R^4 e a dimensão de W + U é 4, isso significa que W + U = R^4.

Resposta

A soma dos subespaços W + U é todo o espaço R^4.
W + U = R^4

Exercícios relacionados