Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
A união de subespaços ainda é um subespaço.

Passo 1

O enunciado pergunta se a união de subespaços de um mesmo espaço vetorial é sempre um subespaço. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais, em particular as condições que um subconjunto deve satisfazer para ser subespaço.

Passo 2

Recordando a definição, um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
  1. W não está vazio (ou contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 3

Embora a união de dois subespaços W1 e W2 sempre contenha o vetor zero (pois 0in W1 e 0in W2), ela pode falhar na condição de fechamento sob soma. Para ver isso explicitamente, vamos a um contraexemplo em R^2.

Passo 4

Defina
W1 = (x,0)mid xinR, W2 = (0,y)mid yinR
São subespaços de R^2 (eixo x e eixo y). Note que
(1,0)in W1subset W1cup W2, (0,1)in W2subset W1cup W2
Porém
(1,0)+(0,1) = (1,1)
não pertence nem a W1 nem a W2, logo não está em W1cup W2. Assim, a união não é fechada sob soma.

Passo 5

Logo, em geral a união de subespaços não satisfaz todas as condições de subespaço. O único caso em que a união de W1 e W2 é subespaço é quando um deles está contido no outro, de modo que a união coincide com o maior.

Resposta

FALSO

Exercícios relacionados