Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
A união de subespaços ainda é um subespaço.
A união de subespaços ainda é um subespaço.
Passo 1
O enunciado pergunta se a união de subespaços de um mesmo espaço vetorial é sempre um subespaço. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais, em particular as condições que um subconjunto deve satisfazer para ser subespaço.
Passo 2
Recordando a definição, um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se:
-
não está vazio (ou contém o vetor zero). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 3
Embora a união de dois subespaços
e
sempre contenha o vetor zero (pois
e
), ela pode falhar na condição de fechamento sob soma. Para ver isso explicitamente, vamos a um contraexemplo em
.
Passo 4
Defina
São subespaços de
(eixo
e eixo
). Note que
Porém
não pertence nem a
nem a
, logo não está em
. Assim, a união não é fechada sob soma.
Passo 5
Logo, em geral a união de subespaços não satisfaz todas as condições de subespaço. O único caso em que a união de
e
é subespaço é quando um deles está contido no outro, de modo que a união coincide com o maior.
Resposta
FALSO