Consideremos o seguinte produto interno em lang<= p, qrang<==a2 b2+a1 b1+a0 b0, sendo p=a2 x^2+a1 x+a0 e q=b2 x^2+b1 x+b0. Dados os vetores p1=x^2-2 x+3, p2=3 x-4 e p3=-x^2+1, calcule:
|p1+p2| e p2|p2|

Passo 1

O enunciado define no espaço dos polinômios de grau <=2 o produto interno
lang<= p,qrang<= = a2b2 + a1b1 + a0b0,
onde p=a2x^2+a1x+a0 e q=b2x^2+b1x+b0. Ele nos dá
p1=x^2-2x+3, p2=3x-4
e pede (a) a norma de p1+p2 e (b) o vetor unitário tfracp2|p2|. Para resolver vamos usar que
|p| = raizlang<= p,prang<=
e a normalização p/|p|.

Passo 2

Calcular p1+p2 somando coeficientes de mesmo grau:
coeficientes de x^2: 1+0=1,
coeficientes de x: -2+3=1,
termos constantes: 3+(-4)=-1.
Logo
p1+p2 = x^2 + x - 1

Passo 3

Calcular a norma de p1+p2: se r=x^2+x-1, então seus coeficientes são (1,1,-1) e
|r| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz3

Passo 4

Calcular a norma de p2: seus coeficientes são (0,3,-4), logo
|p2| = raiz0^2 + 3^2 + (-4)^2 = raiz9+16 = 5

Passo 5

Extrair o vetor unitário tfracp2|p2|:
p2|p2| = 15(3x - 4) = 35x - 45

Resposta

|p1+p2| = raiz3 p2|p2| = 35x - 45

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