Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Prove que
é L.D. se, e só se, existem
não todos nulos tais que
.
Prove que
Passo 1
Vamos resumir o que queremos mostrar e lembrar a definição de dependência linear. Temos um conjunto de vetores
em um espaço vetorial
.
Por definição, dizemos que é linearmente dependente (L.D.) se existe algum índice
tal que
Por definição, dizemos que
Equivalente a isso, queremos provar que
Nos passos seguintes faremos as duas implicações.
Passo 2
(Prova da “
”)
Suponha que seja L.D. Então existe um
em que
Suponha que
para alguns escalares
. Basta levar tudo para um lado da igualdade e agrupar:
Definindo
obtemos uma combinação não trivial (pois
) que soma zero. Logo existe
tal que
Passo 3
(Prova da “
”)
Agora suponha que existam escalares , não todos nulos, com
Agora suponha que existam escalares
Como não são todos nulos, escolhemos um índice
em que
. Então
e dividindo por
(que é diferente de zero) segue
Isto mostra que
está em
, ou seja, o conjunto é L.D.
Resposta
Portanto, provamos as duas implicações e concluímos a equivalência desejada.