Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Prove que v1, ldots, vn é L.D. se, e só se, existem alpha1, ldots, alphan in R não todos nulos tais que 0V=sumi=1^n(alphai cdot vi).

Passo 1

Vamos resumir o que queremos mostrar e lembrar a definição de dependência linear. Temos um conjunto de vetores v1,dots,vn em um espaço vetorial V.
Por definição, dizemos que v1,dots,vn é linearmente dependente (L.D.) se existe algum índice k tal que
vkin spanv1,dots,vk-1,vk+1,dots,vn
Equivalente a isso, queremos provar que
v1,dots,vn é LD Long<=ftrightarrow exists,(alpha1,dots,alphan)neq(0,dots,0) tais que 0V=sumi=1^nalphaivi é
Nos passos seguintes faremos as duas implicações.

Passo 2

(Prova da “ ”)
Suponha que seja L.D. Então existe um em que
para alguns escalares . Basta levar tudo para um lado da igualdade e agrupar:
Definindo
obtemos uma combinação não trivial (pois ) que soma zero. Logo existe tal que

Passo 3

(Prova da “ Leftarrow”)
Agora suponha que existam escalares alpha1,dots,alphan, não todos nulos, com
0V=sumi=1^nalphaivi
Como não são todos nulos, escolhemos um índice k em que alphakneq 0. Então
alphakvk = -sumineq kalphaivi,
e dividindo por alphak (que é diferente de zero) segue
vk = sumineq kl(-tfracalphaialphakr),vi
Isto mostra que vk está em spanv1,dots,vk-1,vk+1,dots,vn, ou seja, o conjunto é L.D.

Resposta

Portanto, provamos as duas implicações e concluímos a equivalência desejada.

Exercícios relacionados