Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F). Justifique suas respostas:
(2,0 pontos) A matriz D=\left[\begin{array}{rrrrr}2 & 1 & 3 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 5 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 7 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] não tem uma inversa.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz triangular superior
D = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 5 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 7 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pergunta se ela “não tem inversa”. O conteúdo aqui é a condição de inversibilidade de matrizes triangulares, que envolve determinante e diagonal principal.

Passo 2

Lembre-se do seguinte fato:
Uma matriz triangular (superior ou inferior) é inversível se, e somente se, todos os elementos da sua diagonal principal são diferentes de zero.
Isso ocorre porque o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Observe os elementos da diagonal principal de D: 2, -1, 7, 0, 1.
Note que há um elemento igual a zero, mais precisamente na posição (4,4).

Passo 4

Como o determinante de D é o produto dos elementos da diagonal, temos
\det(D)=2 \times (-1) \times 7 \times 0 \times 1 = 0.
Um determinante igual a zero significa que a matriz não é inversível.

Resposta

V

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