(5,0 pontos) Utilize o método de eliminação de Gauss ou Gauss-Jordan e determine a solução do sistema a seguir:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z+w=2 \\\ x+y+2 z+2 w=3 \\\ x+y+2 z+3 w=2 \end{array}\right.

Passo 1

O sistema é
\begin{cases} x+y+z+w=2,\\\ x+y+2z+2w=3,\\\ x+y+2z+3w=2. \end{cases}
Vamos usar eliminação de Gauss para eliminar as incógnitas em etapas e encontrar a solução geral em função de um parâmetro.

Passo 2

Subtraindo a primeira equação da segunda e a segunda da terceira, temos:
(x+y+2z+2w)-(x+y+z+w)=3-2\quad\Longrightarrow\quad z+w=1,
(x+y+2z+3w)-(x+y+2z+2w)=2-3\quad\Longrightarrow\quad w=-1.

Passo 3

De w=-1 e z+w=1 segue
z + (-1)=1\quad\Longrightarrow\quad z=2.
Agora, voltando à primeira equação x+y+z+w=2, obtemos
x+y+2+(-1)=2\quad\Longrightarrow\quad x+y=1.

Passo 4

Como temos 4 variáveis e apenas 3 equações independentes, sobra um grau de liberdade. Seja y=t um parâmetro arbitrário. Então
x=1-t,\quad y=t,\quad z=2,\quad w=-1,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(x,y,z,w)=(1-t,\;t,\;2,\;-1),\quad t\in\mathbb{R}.

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