Classifique em verdadeiro/falso.
Três vetores podem gerar V^2.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível que três vetores em um espaço vetorial de dimensão 2, aqui denotado por V^2, gerem todo esse espaço. O conteúdo envolvido é o de span (geração de um espaço) e dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Lembre que um conjunto de vetores v1,dots,vk gera V^2 se todo vetor de V^2 pode ser escrito como combinação linear desses vetores, ou seja,
mathopspanv1,dots,vk = V^2

Passo 3

Sabemos que a dimensão de V^2 é 2, o que implica que qualquer base de V^2 tem exatamente dois vetores, e que não existe base com menos de 2 vetores.

Passo 4

No entanto, um conjunto gerador pode ter mais vetores do que a dimensão do espaço. Se adicionarmos vetores extras a uma base, o conjunto resultante continua gerando o espaço, embora fique linearmente dependente.

Passo 5

Por exemplo, em R^2 tome
v1 = (1,0), v2 = (0,1), v3 = (1,1)
Os vetores v1 e v2 já formam uma base de R^2, então v1,v2,v3 também gera R^2, pois todo vetor (x,y) pode ser escrito como
(x,y) = x,v1 + y,v2 + 0cdot v3

Resposta

Verdadeiro.

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