Suponha R^3 tenha o produto interno euclidiano usual. Em cada um dos itens, utilize o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u1, u2, u3 numa base ortonormal.
u1=(1,0,1), u2=(1,0,-1) e u3=(0,3,4)

Passo 1

O enunciado pede para, em R^3 com o produto interno euclidiano, aplicar o processo de Gram–Schmidt à base
u1,u2,u3 com
u1=(1,0,1), u2=(1,0,-1), u3=(0,3,4)
e obter uma base ortonormal. Vamos lembrar que o método consiste em produzir vetores ortogonais subtraindo projeções e, depois, normalizá-los dividindo pelo seu comprimento.

Passo 2

Definimos
v1 = u1 = (1,0,1)
O seu comprimento é
|v1| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2
Logo o primeiro vetor ortonormal é
e1 = v1|v1| = l(1raiz2,,0,,1raiz2r)

Passo 3

Para obter o segundo vetor ortogonal, calculamos
proje1(u2) = (u2cdot e1),e1, u2cdot e1 = (1,0,-1)cdotl(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r)=0
Portanto
v2 = u2 - proje1(u2) = u2 = (1,0,-1),
com
|v2| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2,
e o segundo vetor ortonormal é
e2 = v2|v2| = l(1raiz2,,0,,-1raiz2r)

Passo 4

Agora o terceiro vetor ortogonal sai de
v3 = u3 - proje1(u3) - proje2(u3)
Calculamos
u3cdot e1 = (0,3,4)cdotl(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r) = 4raiz2=2raiz2, proje1(u3)=2raiz2,e1=(2,0,2),
u3cdot e2 = (0,3,4)cdotl(tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2r) = -4raiz2=-2raiz2, proje2(u3)=-2raiz2,e2=(-2,0,2)
Assim
v3 = (0,3,4) - (2,0,2) - (-2,0,2) = (0,3,0),
e
|v3| = raiz0^2 + 3^2 + 0^2 = 3
Logo
e3 = v3|v3| = (0,1,0)

Resposta

A base ortonormal obtida é
l l(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r),; l(tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2r),; (0,1,0) r

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