Suponha R^3 tenha o produto interno euclidiano usual. Em cada um dos itens, utilize o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u1, u2, u3 numa base ortonormal.
u1=(1,0,0), u2=(0,1,1) e u3=(0,1,2)

Passo 1

O enunciado pede para, em R^3 com o produto interno usual, aplicar o processo de Gram–Schmidt na base
u1=(1,0,0), u2=(0,1,1), u3=(0,1,2)
e obter uma base ortonormal. Vamos usar a fórmula de projeção
proje(v) = (vcdot e),e
e em cada passo normalizar o vetor resultante.

Passo 2

Começamos por u1. Como |u1|=raiz1^2+0^2+0^2=1, basta definir
e1 = u1|u1| = (1,0,0)

Passo 3

Subtraímos de u2 sua projeção em e1:
u2cdot e1 = (0,1,1)cdot(1,0,0)=0,
w2 = u2 - proje1(u2) = (0,1,1) - 0,(1,0,0) = (0,1,1)
O comprimento de w2 é |w2|=raiz0^2+1^2+1^2=raiz2, então
e2 = w2|w2| = l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Passo 4

Agora ajustamos u3 para ficar ortogonal a e1 e e2:
u3cdot e1 = (0,1,2)cdot(1,0,0)=0, u3cdot e2 = (0,1,2)cdotl(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =1+2raiz2=3raiz2,
w3 = u3 - proje1(u3) - proje2(u3) = (0,1,2) - 0,(1,0,0) - 3raiz2,l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) = l(0,1,2r) - l(0,tfrac32,tfrac32r) = l(0,-tfrac12,tfrac12r)
O comprimento de w3 é
|w3| = raizl(-tfrac12r)^2 + l(tfrac12r)^2 = raiztfrac14+tfrac14 = raiztfrac12 = 1raiz2,
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e3 = w3|w3| = 11/raiz2,(0,-tfrac12,tfrac12) = l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Resposta

Uma base ortonormal obtida é
e1 = (1,0,0), e2 = l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r), e3 = l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

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