Classifique em verdadeiro/falso.
Se os vetores u, v, w são linearmente dependentes, então o conjunto gerado pelos três é o mesmo conjunto gerado por u e v.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Ela diz: “Se os vetores u,v,w são linearmente dependentes, então spanu,v,w = spanu,v.” O conteúdo aqui é teoria de dependência linear e espaço gerado (span).

Passo 2

Definição de dependência linear: u,v,w são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, nem todos zero, tais que
a,u + b,v + c,w = 0
Se cneq0, podemos isolar
w = -ac,u - bc,v,
ou seja, winspanu,v, e daí de fato
spanu,v,w = spanu,v

Passo 3

Porém, se na relação de dependência tivermos c=0 e por exemplo aneq0 ou bneq0, então
a,u + b,v = 0,
mostrando que u e v já são dependentes entre si, mas sem dizer nada sobre w. Nesse caso w pode muito bem estar fora de spanu,v, e então
spanu,v,w pode ser maior que spanu,v

Passo 4

Contraexemplo em R^2: tome
u = (1,0),; v = (2,0),; w = (0,1)
Aqui v=2,u, logo u,v,w é linearmente dependente (porque já basta u e v para depender). Mas
spanu,v = (x,0)mid xinR,
enquanto
spanu,v,w = R^2
São conjuntos distintos.

Resposta

Falso.

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