Classifique em verdadeiro/falso.
Se os vetores
são linearmente dependentes, então o conjunto gerado pelos três é o mesmo conjunto gerado por
.
Se os vetores
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Ela diz: “Se os vetores
são linearmente dependentes, então
.” O conteúdo aqui é teoria de dependência linear e espaço gerado (span).
Passo 2
Definição de dependência linear:
são linearmente dependentes se existem escalares
, nem todos zero, tais que
Se
, podemos isolar
ou seja,
, e daí de fato
Passo 3
Porém, se na relação de dependência tivermos
e por exemplo
ou
, então
mostrando que
e
já são dependentes entre si, mas sem dizer nada sobre
. Nesse caso
pode muito bem estar fora de
, e então
pode ser maior que
Passo 4
Contraexemplo em
: tome
Aqui , logo
é linearmente dependente (porque já basta
e
para depender). Mas
Aqui
enquanto
São conjuntos distintos.
Resposta
Falso.