Suponha que R^4 tenha o produto interno euclidiano usual. Utiliza o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u1, u2, u3, u4 numa base ortonormal.
u1=(3,4,0,0), u2=(-1,1,0,0), u3=(2,1,0,-1), u4=(0,1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt em R^4 (produto interno euclidiano) à base
u1=(3,4,0,0), u2=(-1,1,0,0), u3=(2,1,0,-1), u4=(0,1,1,0)
para obter uma base ortonormal e1,e2,e3,e4.

Passo 2

Começamos normalizando u1. Calculamos
|u1| = raiz3^2 + 4^2 = 5,
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e1 = u1|u1| = l(tfrac35,tfrac45,0,0r)

Passo 3

Para ortogonalizar u2=(-1,1,0,0) em relação a e1, fazemos
proje1(u2) = lang<= u2,e1rang<=,e1
Como
lang<= u2,e1rang<= = -1cdottfrac35 + 1cdottfrac45 = tfrac15,
segue
w2 = u2 - proje1(u2) = l(-1,-, , -dotsr) = l(-tfrac2825,tfrac2125,0,0r)
A norma é
|w2| = raizl(-tfrac2825r)^2 + l(tfrac2125r)^2 = tfrac75,
portanto
e2 = w2|w2| = l(-tfrac45,tfrac35,0,0r)

Passo 4

Para u3=(2,1,0,-1), subtraímos as projeções em e1 e e2. Primeiro
lang<= u3,e1rang<= = 2cdottfrac35 + 1cdottfrac45 = 2, lang<= u3,e2rang<= = 2cdotl(-tfrac45r) + 1cdottfrac35 = -1
Então
w3 = u3 - 2,e1 - (-1),e2 = (0,0,0,-1),
que já tem norma 1. Assim
e3 = (0,0,0,-1)

Passo 5

Para u4=(0,1,1,0), subtraímos projeções em e1,e2,e3. Calcula-se
lang<= u4,e1rang<= = 0cdottfrac35 + 1cdottfrac45 = tfrac45, lang<= u4,e2rang<= = 0cdotl(-tfrac45r) + 1cdottfrac35 = tfrac35, lang<= u4,e3rang<= = 0
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w4 = u4 - tfrac45e1 - tfrac35e2 = (0,0,1,0),
com norma 1. Portanto
e4 = (0,0,1,0)

Resposta

A base ortonormal obtida é
e1 = l(tfrac35,tfrac45,0,0r), e2 = l(-tfrac45,tfrac35,0,0r), e3 = (0,0,0,-1), e4 = (0,0,1,0)

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