Sejam u=(x1, y1) e v=(x2, y2). Em cada item abaixo, mostre que a expressão é um produto interno em R^2 verificando a validade dos axiomas de produto interno:
lang<= u, vrang<==4 x1 x2+y1 x2+x1 y2+4 y1 y2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) no plano R^2. A expressão que a gente quer analisar é:
lang<= u, v rang<= = 4x1x2 + y1x2 + x1y2 + 4y1y2
O nosso objetivo é mostrar que essa expressão realmente funciona como um produto interno. Para isso, vamos verificar se ela satisfaz todos os axiomas do produto interno. Pra isso, precisamos entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como o que é um produto interno e quais são suas propriedades fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a simetria, que é um dos axiomas do produto interno. Isso quer dizer que:
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Vamos trocar u e v na nossa expressão e ver se permanece a mesma coisa.
Originalmente temos:
lang<= u, v rang<= = 4x1x2 + y1x2 + x1y2 + 4y1y2
Agora, trocando u e v :
lang<= v, u rang<= = 4x2x1 + y2x1 + x2y1 + 4y2y1
Observa que x1x2 = x2x1 e y1y2 = y2y1 , então:
lang<= v, u rang<= = 4x1x2 + y1x2 + x1y2 + 4y1y2 = lang<= u, v rang<=
Portanto, a simetria está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos ver a linearidade no primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer vetores u, w e escalares a, b :
lang<= a u + b w, v rang<= = a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<=
Vamos considerar u = (x1, y1) e w = (x3, y3) . Então, a u + b w = (a x1 + b x3, a y1 + b y3) .
Vamos calcular lang<= a u + b w, v rang<= :
lang<= a u + b w, v rang<= &= 4(a x1 + b x3)x2 + (a y1 + b y3)x2 & + (a x1 + b x3)y2 + 4(a y1 + b y3)y2 &= a(4x1x2 + y1x2 + x1y2 + 4y1y2) & + b(4x3x2 + y3x2 + x3y2 + 4y3y2) &= a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<=
Assim, a linearidade no primeiro argumento também está confirmada.

Passo 4

Por último, vamos verificar a positividade e a definitude positiva. Isso significa que:
  1. lang<= u, u rang<= >= 0 para todo u .
  2. lang<= u, u rang<= = 0 se e somente se u = 0 .
Vamos calcular lang<= u, u rang<= :
lang<= u, u rang<= = 4x1^2 + y1x1 + x1y1 + 4y1^2 = 4x1^2 + 2x1y1 + 4y1^2
Podemos reescrever isso como:
lang<= u, u rang<= = 4x1^2 + 2x1y1 + 4y1^2 = 2x1^2 + 2x1^2 + 2x1y1 + 4y1^2 = 2(x1^2 + x1y1) + 4y1^2
Observando os coeficientes, percebemos que todos os termos são quadrados ou produtos positivos, então lang<= u, u rang<= sempre será maior ou igual a zero. Além disso, lang<= u, u rang<= = 0 só acontece quando todos os componentes de u são zero, ou seja, u = 0 .

Resposta

Conseguimos verificar que a expressão lang<= u, v rang<= = 4x1x2 + y1x2 + x1y2 + 4y1y2 satisfaz todos os axiomas do produto interno em R^2. Portanto, essa expressão é um produto interno válido em R^2.

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