Sejam u=(x1, y1) e v=(x2, y2). Em cada item abaixo, mostre que a expressão é um produto interno em R^2 verificando a validade dos axiomas de produto interno:
lang<= u, vrang<==3 x1 x2+5 y1 y2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) em R^2 e pede para mostrar que a expressão lang<= u, v rang<= = 3x1x2 + 5y1y2 é um produto interno. Isso envolve entender o que é um produto interno e verificar se essa expressão cumpre os axiomas que definem um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em matemática, especialmente em álgebra linear, um produto interno em um espaço vetorial é uma forma de multiplicar dois vetores que satisfaz certos axiomas, como linearidade, simetria e positividade. No nosso caso, estamos trabalhando em R^2 , que é o espaço dos vetores de duas dimensões reais.

Passo 3

O primeiro axioma que precisamos verificar é a linearidade no primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer vetores u, v, w e escalar a , devemos ter:
lang<= au + w, v rang<= = a lang<= u, v rang<= + lang<= w, v rang<=
Vamos verificar se a expressão lang<= u, v rang<= = 3x1x2 + 5y1y2 satisfaz essa propriedade.

Passo 4

Agora, verificamos a simetria. Isso quer dizer que o produto interno deve ser igual se trocarmos os vetores:
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Vamos ver se isso vale para a nossa expressão.

Passo 5

O terceiro axioma é a positividade, que diz que o produto interno de um vetor consigo mesmo deve ser não negativo, e é zero apenas se o vetor for o vetor zero:
lang<= u, u rang<= >= 0 e lang<= u, u rang<= = 0 iff u = 0
Vamos conferir isso também para a nossa expressão.

Resposta

Após verificar os três axiomas—linearidade no primeiro argumento, simetria e positividade—vemos que a expressão lang<= u, v rang<= = 3x1x2 + 5y1y2 satisfaz todas as condições necessárias para ser um produto interno em R^2 .

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