Sejam
e
. Em cada item abaixo, mostre que a expressão é um produto interno em
verificando a validade dos axiomas de produto interno:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá dois vetores
e
em
e pede para mostrar que a expressão
é um produto interno. Isso envolve entender o que é um produto interno e verificar se essa expressão cumpre os axiomas que definem um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em matemática, especialmente em álgebra linear, um produto interno em um espaço vetorial é uma forma de multiplicar dois vetores que satisfaz certos axiomas, como linearidade, simetria e positividade. No nosso caso, estamos trabalhando em
, que é o espaço dos vetores de duas dimensões reais.
Passo 3
O primeiro axioma que precisamos verificar é a linearidade no primeiro argumento. Isso significa que para quaisquer vetores
e escalar
, devemos ter:
Vamos verificar se a expressão
satisfaz essa propriedade.
Passo 4
Agora, verificamos a simetria. Isso quer dizer que o produto interno deve ser igual se trocarmos os vetores:
Vamos ver se isso vale para a nossa expressão.
Passo 5
O terceiro axioma é a positividade, que diz que o produto interno de um vetor consigo mesmo deve ser não negativo, e é zero apenas se o vetor for o vetor zero:
Vamos conferir isso também para a nossa expressão.
Resposta
Após verificar os três axiomas—linearidade no primeiro argumento, simetria e positividade—vemos que a expressão
satisfaz todas as condições necessárias para ser um produto interno em
.