Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.
Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.
Passo 1
O enunciado quer saber se dadas duas retas reversas em
• Conteúdo: Geometria Analítica no espaço — definição de retas reversas (skew lines) e interseção plano–reta.
• O que vamos precisar: as definições de reta reversa e condições de interseção entre reta e plano.
• Conteúdo: Geometria Analítica no espaço — definição de retas reversas (skew lines) e interseção plano–reta.
• O que vamos precisar: as definições de reta reversa e condições de interseção entre reta e plano.
Passo 2
Duas retas são ditas reversas (skew) quando não são paralelas e não se interceptam; em particular, elas não estão contidas num mesmo plano.
Uma reta e um plano se interceptam se e somente se a direção da reta não for paralela ao plano. Para que uma reta seja paralela a um plano, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano.
Uma reta e um plano se interceptam se e somente se a direção da reta não for paralela ao plano. Para que uma reta seja paralela a um plano, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano.
Passo 3
Dado isso, podemos construir um plano que passa pela primeira reta e ainda é paralelo à segunda reta, basta tomar como normal do plano um vetor n que seja ortogonal à direção u da reta 1 e também ortogonal à direção w da reta 2. Por exemplo, escolha
essa normal satisfaz n·u=0 (plano contém reta 1) e n·w=0 (reta 2 é paralela ao plano), logo o plano não encontra a reta 2.
Passo 4
Portanto, nem todo plano que contém uma reta reversa encontra a outra; a afirmativa é falsa.
Resposta
F