Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) :
Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto.

Passo 1

O enunciado está falando sobre dois planos distintos em R^3 que compartilham ao menos um ponto. O conteúdo é a interseção de planos em geometria analítica, e vamos precisar lembrar como se classificam as interseções de dois planos no espaço.

Passo 2

Em R^3, dois planos pi1 e pi2 podem ou ser paralelos sem interseção, ou coincidir (ser o mesmo plano), ou intersectar ao longo de uma reta. Não existe a possibilidade de eles se tocarem em exatamente um ponto, pois cada plano é definido por uma equação linear e a solução simultânea de duas equações lineares independentes em três variáveis tem um grau de liberdade, gerando uma reta.

Passo 3

Para ver isso via álgebra, escreva
pi1:;a1x+b1y+c1z+d1=0, pi2:;a2x+b2y+c2z+d2=0
Se os vetores normais (a1,b1,c1) e (a2,b2,c2) não são múltiplos, as duas equações são independentes e o conjunto solução tem dimensão 3-2=1, ou seja, é uma reta. Como os planos são distintos e têm um ponto em comum, não são coincidentes nem totalmente paralelos, cabendo apenas a interseção em reta.

Resposta

V

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