Num quadrilátero reverso A B C D, os pontos M, N, P, Q, R e S são respectivamente pontos médios de A B, A D, C D, B C, B D e A C. Prove que M N P Q, M S P R e NSQR são paralelogramos.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ABCD qualquer e define:
M ponto médio de AB,
N ponto médio de AD,
P ponto médio de CD,
Q ponto médio de BC,
R ponto médio de BD,
S ponto médio de AC.
Pede-se mostrar que os quadriláteros MNPQ, MSPR e NSQR são paralelogramos.
Conteúdo principal: teorema do segmento médio em triângulos, que afirma que, dado um triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento.

Passo 2

Mostrando que MNPQ é paralelogramo.
No triângulo ABC, M e Q são pontos médios de AB e BC, logo
MQ paral<=l AC e MQ = tfrac12,AC
No triângulo ADC, N e P são pontos médios de AD e DC, logo
NP paral<=l AC e NP = tfrac12,AC
Portanto MQparal<=l NP e MQ=NP. Analogamente, em triang<= ABD e triang<= BCD obtemos
MNparal<=l PQ e MN=PQ
Duas pares de lados opostos paralelos e congruentes implicam que MNPQ é paralelogramo.

Passo 3

Mostrando que MSPR é paralelogramo.
No triângulo ABC, M e S são pontos médios de AB e AC, logo
MS paral<=l BC e MS = tfrac12,BC
No triângulo BCD, P e R são pontos médios de CD e BD, logo
PR paral<=l BC e PR = tfrac12,BC,
de onde MSparal<=l PR.
No triângulo ADC, S e P são pontos médios de AC e CD, logo
SP paral<=l AD e SP = tfrac12,AD
No triângulo ABD, M e R são pontos médios de AB e BD, logo
MR paral<=l AD e MR = tfrac12,AD,
portanto SPparal<=l MR. Dois pares de lados opostos paralelos mostram que MSPR é paralelogramo.

Passo 4

Mostrando que NSQR é paralelogramo.
No triângulo ADC, N e S são pontos médios de AD e AC, logo
NS paral<=l DC e NS = tfrac12,DC
No triângulo BCD, Q e R são pontos médios de BC e BD, logo
QR paral<=l DC e QR = tfrac12,DC,
de onde NSparal<=l QR.
No triângulo ABC, S e Q são pontos médios de AC e BC, logo
SQ paral<=l AB e SQ = tfrac12,AB
No triângulo ABD, R e N são pontos médios de BD e AD, logo
RN paral<=l AB e RN = tfrac12,AB,
portanto SQparal<=l RN. Assim NSQR tem dois pares de lados opostos paralelos e é paralelogramo.

Resposta

Os quadriláteros MNPQ, MSPR e NSQR são todos paralelogramos.

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