Uma empresa vende três materiais: e P , cujos preços se mantiveram inalterados durante os anos de 2004, 2005 e 2006. Nesses anos, os preços de venda, por tonelada, foram de R$40,00 para M, de R 50,00 $ 60,00$ para P .
Em 2004, essa empresa arrecadou R 53.000,00$ com a venda desses três materiais.
Em 2005, em relação ao ano anterior, o número de toneladas vendidas do material M foi o mesmo, mas o de N aumentou 20% e o de P caiu 20%. Com essas vendas, a empresa arrecadou, no ano, um total de R$50.000,00.
Já em 2006, em relação a 2005, o número de toneladas vendidas de M cresceu 50%, o de N caiu 25% e o de P cresceu 50%. Com essas vendas, a empresa arrecadou, no ano, um total de R$64.200,00.
Determine quantas toneladas de cada um desses materiais foram vendidos pela empresa em 2004.

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de toneladas de cada material vendidas em 2004, sabendo que os preços por tonelada (em reais) foram sempre 40 para M, 50 para N e 60 para P, e que a receita nos anos de 2004, 2005 e 2006 foi, respectivamente, R$ (53,000), R, R$ 50,000 e R$ 64,200. O que vamos usar aqui é modelar essas receitas por variáveis e montar um sistema linear.

Passo 2

Sejam as quantidades vendidas em 2004:
x = toneladas de M, y = toneladas de N, z = toneladas de P
Em 2004 a receita é
40x + 50y + 60z = 53000
Em 2005, M ficou em x, N passou a 1,2y e P a 0,8z, logo
40x + 50,(1,2y) + 60,(0,8z) = 50000 Longrightarrow 40x + 60y + 48z = 50000
Em 2006, M virou 1,5x, N virou 0,75cdot1,2y=0,9y e P virou 1,5cdot0,8z=1,2z, então
40,(1,5x) + 50,(0,9y) + 60,(1,2z) = 64200 Longrightarrow 60x + 45y + 72z = 64200
Temos assim o sistema
40x + 50y + 60z = 53000, 40x + 60y + 48z = 50000, 60x + 45y + 72z = 64200

Passo 3

Para eliminar x, subtraímos a 1ª da 2ª equação:
(40x+60y+48z)-(40x+50y+60z)=-3000 ;Longrightarrow; 10y-12z=-3000 ;Longrightarrow; 5y-6z=-1500
Agora multiplicamos a 1ª por 1,5 e subtraímos a 3ª:
(1,5cdot40x + 1,5cdot50y + 1,5cdot60z) - (60x+45y+72z)=79500-64200
Longrightarrow; 60x+75y+90z - (60x+45y+72z)=15300 ;Longrightarrow; 30y+18z=15300 ;Longrightarrow; 5y+3z=2550

Passo 4

Resolvendo o sistema em
subtraindo a ª vem , logo . Substituindo em , então e .

Passo 5

Para achar x, voltamos à primeira equação:
40x +50cdot240 +60cdot450 =53000 ;Longrightarrow; 40x +12000+27000=53000 ;Longrightarrow; 40x=14000 ;Longrightarrow; x=350

Resposta

Foram vendidas em 2004:
M: 350 t, N: 240 t, P: 450 t

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