Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.
(b) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta.
© A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano é sempre um segmento.
(d) A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre o plano, é menor que o segmento.
(e) A projeção ortogonal, sobre um plano, de um segmento contido numa reta, não perpendicular ao plano, é menor que o segmento ou congruente a ele.
(f) Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele é paralelo ao plano de projeção ou está contido nele.
(g) Se dois segmentos são congruentes, então suas projeçães ortogonais sobre qualquer plano são congruentes.
(h) Se dois segmentos não congruentes são oblíquos a um plano, então a projeção ortogonal, sobre o plano, do maior deles é maior.
(i) A projeção ortogonal de um triângulo, sobre um plano, é sempre um triângulo.
(a) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.
(b) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta.
© A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano é sempre um segmento.
(d) A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre o plano, é menor que o segmento.
(e) A projeção ortogonal, sobre um plano, de um segmento contido numa reta, não perpendicular ao plano, é menor que o segmento ou congruente a ele.
(f) Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele é paralelo ao plano de projeção ou está contido nele.
(g) Se dois segmentos são congruentes, então suas projeçães ortogonais sobre qualquer plano são congruentes.
(h) Se dois segmentos não congruentes são oblíquos a um plano, então a projeção ortogonal, sobre o plano, do maior deles é maior.
(i) A projeção ortogonal de um triângulo, sobre um plano, é sempre um triângulo.
Passo 1
O enunciado pede pra gente classificar várias afirmações sobre projeção ortogonal de objetos geométricos (ponto, reta, segmento, triângulo) num plano como verdadeiras (V) ou falsas (F). O conteúdo chave aqui é a definição de projeção ortogonal e a relação entre comprimento de segmento, ângulo com o plano e comprimento da projeção (
).
Passo 2
(a) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano sempre é seu pé de perpendicular, que é um único ponto. Logo, é V.
Passo 3
(b) A projeção de uma reta em geral é uma reta, mas se a reta for perpendicular ao plano todos os seus pontos projetam no mesmo pé, virando um ponto. Como não é sempre reta, é F.
Passo 4
© Segue do caso da reta: a projeção de um segmento liga os pés de seus extremos, mas se ambos coincidirem temos um ponto, não um segmento. Como não é sempre segmento, é F.
Passo 5
(d) Se o segmento é oblíquo ao plano, o ângulo
entre ele e o plano satisfaz
, então
e
. Logo, é V.
Passo 6
(e) Se o segmento está em reta não perpendicular, duas situações: reta paralela ao plano (
) dá projeção congruente; reta oblíqua (
) dá projeção menor. Então sempre menor ou igual, é V.
Passo 7
(f) Projeção congruente significa
, ou seja
e
, o segmento é paralelo ao plano (ou contido nele). Logo, é V.
Passo 8
(g) Dois segmentos congruentes podem ter ângulos diferentes com o plano e, portanto, projeções de comprimentos
e
que não coincidem. Logo, é F.
Passo 9
(h) Para dois segmentos oblíquos não congruentes, mesmo que
, pode ocorrer
se
for suficientemente menor. Então não vale sempre, é F.
Passo 10
(i) A projeção de um triângulo é o polígono convexo cujos vértices são as projeções dos vértices originais. Mas se o triângulo estiver em plano perpendicular ao de projeção, todos os vértices caem numa reta ou num ponto, não formando triângulo. Então, é F.
Resposta
(a) V, (b) F, © F, (d) V, (e) V, (f) V, (g) F, (h) F, (i) F